Se encontraron 261 coincidencias

por Sandy
Mié 10 Nov, 2021 1:04 am
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Nacional 2021 N2 P1
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Re: Nacional 2021 N2 P1

Notemos que, si tenemos dos números $a,b$ con suma fija $c$, podemos escribirlos como $a=\frac{c}{2}+\frac{a-b}{2}$ y $b=\frac{c}{2}-\frac{a-b}{2}$, luego su producto será $\frac{c^2}{4}-\frac{(a-b)^2}{4}$. Luego minimizando $|a-b|$ es que se maximiza el producto. Ahora sí. Si en un pizarrón están ...
por Sandy
Mié 10 Nov, 2021 12:50 am
Foro: Geometría
Tema: Nacional 2021 N2 P2
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Re: Nacional 2021 N2 P2

Perdón por la falta de dibujo pero es lo que hay a estas horas y desde la cama. Sea y $E'$ el simétrico de $E$ por $AB$. Por angulitos es fácil ver que $D, C, E'$ son colineales. $E'\widehat{E}K=180^\circ-E'\widehat{D}K=90^\circ$. Luego tanto $KE$ como $AB$ son perpendiculares a $EE'$, por lo que s...
por Sandy
Mar 09 Nov, 2021 10:05 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Nacional 2021 N3 P2
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Re: Nacional 2021 N3 P2

Sea $d=mcd(m,n)$. Luego $d\mid m-n$, por lo que o bien $d=1$ o $d=p$. Si $d=p$, debe ser que $\frac{m}{d}-\frac{n}{d}=\frac{m-n}{d}=1$. Pero como queremos que $mn$ sea cuadrado, $\frac{mn}{d^2}$ también debe serlo, lo cual es imposible pues $\frac{m}{d}$ y $\frac{n}{d}$ son positivos y difieren en ...
por Sandy
Lun 25 Oct, 2021 2:57 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Torneo internacional de las ciudades Otoño 2020: Nivel Mayor P5
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Re: Torneo internacional de las ciudades Otoño 2020: Nivel Mayor P5

Sea en la figura $x=\sqrt{1+\sqrt{2}}$, dejo las cuentitas como ejercicio al lector pero debería andar. Si, recursivamente, hacemos lo mismo en el rectángulo más chiquito de todos (queda siempre el rojo -y sus homólogos- me parece) en las mismas proporciones, cada vez sumamos $3$ rectángulos más. R...
por Sandy
Jue 21 Oct, 2021 12:47 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Iberoamericana 2021 - Problema 5
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Re: Iberoamericana 2021 - Problema 5

Elección de los conjuntos: Más que los conjuntos, vamos a ver que si $S_A=3\times 43\times 47\times 81$ y $S_B=3\times 43\times 47\times 256$ anda. Primero, $S_A+S_B=3\times 43\times 47\times (81+256)=2021\times 3\times 337=\frac{2021\times 2022}{2}$. Segundo, $S_A\times S_B=3\times 43\times 47\time...
por Sandy
Jue 21 Oct, 2021 12:10 am
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Iberoamericana 2021 - Problema 1
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Re: Iberoamericana 2021 - Problema 1

Veamos primero por inducción en la cantidad de factores primos (no necesariamente distintos) que hay sólo $10$ colores. Cuando la cantidad de factores es $1$ es claro (pues son los $10$ primos). Si tenemos que para $t$ factores vale, sea $n=p_ik$ de $t+1$ factores. Debe ser por la condición b) que ...
por Sandy
Vie 08 Oct, 2021 10:01 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: PAGMO 2021 - P2
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Re: PAGMO 2021 - P2

Una alternativa de la mano de Fedex ... Notemos que $M$ (punto medio $AC$) está en el eje radical de las circunscriptas de $ABP$ y $CPB$, luego, si $L$ es la segunda intersección de AC con la de $BCP$, vale que $ML\times MC=AM^2\iff L=C$ por ser $M$ punto medio. Luego $(BCP)$ es tangente a $AC$ en $...
por Sandy
Jue 23 Sep, 2021 8:49 pm
Foro: General
Tema: FOFO 11 AÑOS
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Re: FOFO 11 AÑOS

😎😎
por Sandy
Lun 13 Sep, 2021 9:01 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Selectivo Ibero 2021 - Problema 3
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Re: Selectivo Ibero 2021 - Problema 3

En primer lugar, notemos que $\left( 2^{2m+1}\right)^2+1=\left( 2^{2m+1}+2^{m+1}+1\right)\left( 2^{2m+1}-2^{m+1}+1\right)$. Supongamos que $d\mid 2^{2m+1}+2^{m+1}+1$ y al mismo tiempo $d\mid 2^{2m+1}-2^{m+1}+1$. Luego $d\mid \left( 2^{2m+1}+2^{m+1}+1\right) - \left( 2^{2m+1}-2^{m+1}+1\right)=2^{m+2...
por Sandy
Vie 03 Sep, 2021 12:08 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Regional 2021 - N3 P3
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Re: Regional 2021 - N3 P3

Sean $E'$ punto medio de $BE$ y $F=AE\cap DC$. $DE'\parallel AE$ por ser $DE'$ base media en $ABE$. Por ser $E$ punto medio de $E'C$ y el paralelismo de recién, $EF$ es base media en $DCE'$, luego $CF=FD=FA$. Luego $B\widehat{A}C=D\widehat{A}F+F\widehat{A}C=D\widehat{A}F+\frac{1}{2}\left(180^\circ-...