Se encontraron 71 coincidencias

por joa.fernandez
Vie 16 Abr, 2021 10:10 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Selectivo de IMO 2021 - Problema 5
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Re: Selectivo de IMO 2021 - Problema 5

Lema: Si $24\mid n+1$, entonces la suma de los divisores positivos de $n$ es divisible por $24$. Sean $1=d_1<...<d_k=n$ los divisores de $n$. Notar que $d_id_{k+1-i}\equiv -1\pmod{24}$ de donde ese producto es congruente a $-1$ módulo $3$ y $8$. Notar que si (como $d_i$ es coprimo con $3$) $d_i\equ...
por joa.fernandez
Vie 16 Abr, 2021 7:39 pm
Foro: Geometría
Tema: Selectivo de IMO 2021 - Problema 2
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Re: Selectivo de IMO 2021 - Problema 2

Spoiler: mostrar
Chan

Es el mismo problema.

Como comentario, se puede ahorrar la parte de angulitos notando la rotohomotecia de centro $A$ que manda $DF$ a $CE$.
por joa.fernandez
Mar 16 Mar, 2021 3:02 pm
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Problema 202
Sean $PT$ y $PB$ dos tangentes a una circunferencia, $AB$ el diámetro que pasa por $B$ y $TH$ la perpendicular desde $T$ a $AB$. Demostrar que $AP$ corta en su punto medio a $TH$.
por joa.fernandez
Jue 25 Feb, 2021 10:36 am
Foro: Geometría
Tema: Ángulos en 1:2:4 y CD=2AB
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Re: Ángulos en 1:2:4 y CD=2AB

Raro. Sea $E$ en $BC$ tal que $AE$ es bisectriz de $B\widehat{A}C$ y $B'$ el reflejo de $B$ por $A$. Como $E\widehat{A}D=C\widehat{B}D=E\widehat{B}D$, $ABED$ es cíclico. En particular, por angulitos tenemos que: $$D\widehat{E}C=B\widehat{A}C\Rightarrow \triangle BAC \simeq \triangle DEC,~~3A\widehat...
por joa.fernandez
Jue 18 Feb, 2021 1:44 pm
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Solución 191 Notemos que por base media en $\triangle BCD$ tenemos que $2MN=BD$ y $MN\parallel BD$. Además, es claro que $N\widehat{A}M=30°$. Vamos a usar tramposética. En efecto, sea $\Omega$ la circunscrita de $\triangle ABD$, $O$ su centro y: $$N'=AN\cap \Omega, ~M'=AM\cap \Omega$$ También, como...
por joa.fernandez
Mar 09 Feb, 2021 12:34 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: OFO 2021 Problema 5
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Re: OFO 2021 Problema 5

Me dicen por la cucaracha que esta solución es copada, así que la dejo Veamos que $A$ tiene estrategia ganadora. Al comienzo del juego, la cantidad de personas entre $A$ y $B$ que hay en el círculo es $2021$ (el resto de las personas que están en el círculo y no son $A$ ni $B$), y es clave ver que l...
por joa.fernandez
Lun 08 Feb, 2021 8:23 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: OFO 2021 Problema 16
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Re: OFO 2021 Problema 16

Dedicada para AgusBarreto Lema: Sean $AD$, $BE$ y $CF$ cevianas concurrentes del $\triangle ABC$ y $P = FE \cap BC$. Luego $B,D,C,P$ son cuaterna armónica. Por ceva: $$\dfrac{AE}{EC} \dfrac{CD}{BD}\dfrac{BF}{AF}=1$$ Por menelao: $$\dfrac{AE}{EC}\dfrac{CP}{BP}\dfrac{BF}{AF}=1$$ Igualando:$$\dfrac{AE}...
por joa.fernandez
Lun 08 Feb, 2021 1:11 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: OFO 2021 Problema 6
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Re: OFO 2021 Problema 6

Solución: Sean $a_1$, $a_2$,..., $a_{1012}$ los números de la lista y sea $P$ el puntaje. Veamos que con $P=2021$ Fiebre puede armar una lista, y luego demostraremos que es el mínimo. Para el ejemplo, $a_{4j+1} = 4j+1$, $a_{4j+2} = 4j+2$, $a_{4j+3}=4j+1+1012$ y $a_{4j+4}= 4j+4$ ($j \in \mathbb{Z} \...
por joa.fernandez
Lun 08 Feb, 2021 1:00 am
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: OFO 2021 Problema 11
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Re: OFO 2021 Problema 11

Solución: Sea $f(n)$ la mínima cantidad de números que pueden quedar escritos en el pizarrón. Claramente $f(1)=2$, ya que no se puede borrar ningun número. Como observación, sabemos que los números de las puntas ($0$, $n$) no se pueden borrar, ya que de lo contrario, existirían dos enteros positivo...
por joa.fernandez
Lun 08 Feb, 2021 12:56 am
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: OFO 2021 Problema 2
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Re: OFO 2021 Problema 2

Solución: A cada casilla la denotamos por $C(i,j)$, donde la casilla pertenece a la fila $i$ y a la columna $j$ y este es el número escrito en ella (de izquierda a derecha y de arriba a abajo, las filas y las columnas son $1$, $2$, $3$...). Sabemos que la suma de las casillas vecinas de cualquier c...