OMA Foros

OMA Foros Open 2021 Vuelve el clásico del verano de OMA Foros, en su séptima edición! ¿Qué es el OFO? El OFO (OMA Foros Open) consistirá en una competencia online ABIERTA para todos los usuarios de OMA Foros que deseen participar. ¿Cuándo se llevará a cabo? El Certamen se llevará a cabo a partir de...

Solución: Cosas claves: -Los números de una cifra son capicúa -Los números capicúa no son múltiplos de $10$, ya que si lo fueran, su primera y última cifra sería $0$ y un número no puede tener al $0$ como su primera cifra. Teniendo en cuenta eso, sin importar que número elija Ana, Beto va a recibir ...

Decimos que un entero positivo n es circular si es posible colocar los números $1, 2, …, n$ alrededor de
una circunferencia de tal manera que no haya tres números adyacentes cuya suma sea múltiplo de $3$.
a) Demostrar que $9$ no es circular.
b) Demostrar que todo entero mayor que $9$ es circular.

Sean $ABC$ un triángulo rectángulo, recto en $B$, y $M$ el punto medio del lado $BC$. Sea $P$ el punto en la
bisectriz del ángulo $\angle BAC$ tal que $PM$ es perpendicular a $BC$ ($P$ está fuera del triángulo $ABC$).
Determinar el área del triángulo $ABC$ si $PM=1$ y $MC=5$.

Se tiene una caja con $2020$ piedras. Ana y Beto juegan a retirar piedras de la caja, alternadamente y comenzando por Ana. Cada jugador en su turno debe retirar un número positivo de piedras que sea capicúa. El que logre dejar la caja vacía gana. Determinar cuál de los dos tiene una estrategia ganad...

a) Determinar si existen enteros positivos $a, b$ y $c$, no necesariamente distintos, tales que
$a+b+c=2020$ y $2^a+2^b+2^c$ es un cuadrado perfecto.
b) Determinar si existen enteros positivos $a, b$ y $c$, no necesariamente distintos, tales que
$a+b+c=2020$ y $3^a+3^b+3^c$ es un cuadrado perfecto.

Decimos que un número entero positivo es súper-impar si todos sus dígitos son impares. Por ejemplo,
$1737$ es súper-impar y $3051$ no lo es. Hallar un entero positivo par que no se pueda expresar como suma
de dos números súper-impares y explicar por qué no es posible expresarlo de esa manera.

No hay mejor manera de empezar el año en el foro que al grito de "que viva la combinatoria" :D :D :D Definimos como un superdominó a la siguiente ficha, formada por exáctamente $8$ casillas del tablero: superdomino.jpg Ahora, reescribimos nuestro problema de la siguiente manera: Sea $n$ un entero po...

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Armamos las parejitas $\{1,15\}, \{2,14\},\{3,13\},\{4,12\},\{5,11\},\{6,10\},\{7,18\},\{8,17\},\{9,16\}$. Tenemos nueve parejitas que suman cuadrado perfecto, por lo tanto de cada parejita puedo dejar en el pizarrón como máximo un número, por lo que como máximo pueden quedar nueve números en el pi...