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Consideremos la sucesión $c_i=a_i+b_i$. Tenemos que $a_1+...+a_n=1$ y que $c_1+...+c_n=2$. Por la Desigualdad de Cauchy Fraccionario tenemos: $\frac{a_1^2}{c_1}+...+\frac{a_n^2}{c_n} \geq \frac{(a_1+...+a_n)^2}{c_1+...+c_n}=\frac{1}{2}$. Por último, es fácil chequear que si $a_i=\frac{1}{n}=b_i$ va...

Con algunos detalles pasados por arriba, pero creo que la idea se entiende Partimos el tablero en cuatro tableritos de $2 \times 7$ y uno de $1 \times 7$. Tablero n2.jpg Si en cada tablerito la cantidad de fichas pintadas es a lo sumo $7$, entonces la cantidad total de casillas pintadas es a lo sumo...

Mirá por ejemplo

Spoiler: mostrar

Toma estos dos factores consecutvos $5!6!=5!*(1*2*3*4*5)*6=5!5!6=(5!)^26$
Haces lo mismo con cada parejita de consecutivos y estás

Hola! Como va? Si no leíste muchas cosas, siempre una buena forma de empezar es ojear los seminarios de apoyo de la OMA . El envío dos que trata sobre congruencias, enteros, divisibilidad y esas cosas es el pan de cada día y te da una base para encarar una amplia oferta de problemas de teoría de núm...

Miren si nadie le respondía su duda y terminaba no sacando oro en la IMO por culpa de todos nosotros?

Solo porque quiero alcanzar a Candioti en el ranking de posteos :D :D :D WLOG $AB>AC$. Tenemos $AO=BO=CO$ por ser cincuncentro. Definimos $l$ mediatriz $AD$, $P=AO \cap l$, $\angle CAD= \angle DAB= \alpha$. $\angle PAD= \beta= \angle PDA$ ya que $P$ está en la mediatriz, entonces $\angle OAB= \angle...

Un clásico El problema lo reescribimos como "Probar que todo entero positivo puede ser escrito como la suma de uno o más enteros positivos de la pinta $2^x3^y$ tales que no haya un término que divida a otro"... Ahora si, manos a la obra: Vamos a tirar una inducción fuerte para el problema... ¿Qué es...

Sea $\{a\}=a-[a]$ la mantiza de $a$. Es claro que $\{ n+i+\sqrt{n+i}\}=\{\sqrt{n+i} \}$, por lo que pedir que $[n+\sqrt{n}], [n+1+\sqrt{n+1}], ..., [n+2003+\sqrt{n+2003}]$ sean $2004$ enteros consecutivos, no es otra cosa que pedir que los siguientes $2004$ números lo sean: $(n+\sqrt{n}-\{ n+\sqrt{...

Solución: Sea $n$ una solución al problema. Supongamos que $n\geqslant 100$, luego, tenemos que $n=\overline{x_kx_{k-1}\ldots x_3abc}$ con al menos uno de $x_k,x_{k-1},\ldots ,x_3,a$ distinto de $0$. Entonces $$a^2+b^2+c^2+\sum \limits _{j=3}^kx^2_j=s(n)=n=\overline{x_kx_{k-1}\ldots x_3abc}=100a+10...

El problema pedía ser bruteforceado para que muera "rápido" Sea $u(n)$ la cantidad de cifras de $n$. Es claro que $n=s(n) \leq 9^2u(n)$, de donde $\frac{n}{81} \leq u(n)$, pero lo de la derecha crece de a uno, y lo de la izquierda se va multiplicando por $10$. Haciendo la cuentita vemos que si $n$ t...