Se encontraron 484 coincidencias

por Turko Arias
Vie 03 Sep, 2021 12:54 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Regional 2021 - N1 P3
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Re: Regional 2021 - N1 P3

Llamemos $\alpha = \angle BPC = CPQ$, teniendo en cuenta que $\angle BPC + \angle CPQ + \angle QPA = 180$ nos queda que $\angle QPA = 180-2 \alpha$. En el triángulo rectángulo $APQ$ tenemos que $\angle APQ + \angle AQP + \angle PAQ = 180$ por lo que $\angle AQP= 2 \alpha -90$. Tenemos entonces que ...
por Turko Arias
Vie 03 Sep, 2021 12:36 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Regional 2021 - Nivel 2 - Problema 2
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Re: Regional 2021 - Nivel 2 - Problema 2

Spoiler: mostrar
En el triángulo $ABR$, $BP$ es bisectriz y altura, pero esto solo pasa solo si es isósceles, por lo que $AB=BR$ y $P$ resulta punto medio. $PQ$ es la parelela a $BR$ por un punto medio y resulta ser base media, por lo que $Q$ es punto medio de $AB$ y $AQ=4$ $\blacksquare$
por Turko Arias
Lun 23 Ago, 2021 8:54 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 3
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Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 3

No sea cosa que $10$ soluciones a un provincial sean pocas, acá va otra, sin puntos nuevos, sin prolongaciones y sin trigonometría: En $ABC$, por Teorema de la Bisectriz: $$\frac{1}{3}=\frac{BC}{AC}=\frac{BD}{AD}$$ En el triángulo $BCD$, $AC$ es bisectriz exterior, por lo que por Teorema de la Bisec...
por Turko Arias
Vie 13 Ago, 2021 9:27 am
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: OMCC 2021 - P4
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Re: OMCC 2021 - P4

Sean $a_1, a_2,...,a_{2021}$ las personas y supongamos que $a_1$ no tiene amigos y que $a_2$ es la persona que tiene un único amigo y sea $a_3$ ese amigo. Llamamos evaluar a un grupo de cuatro personas $(w,x,y,z)$ a analizar al grupo de esas cuatro personas bajo la premisa del enunciado de que dada...
por Turko Arias
Mié 21 Jul, 2021 1:33 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: IMO 2021 - Problema 4
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Re: IMO 2021 - Problema 4

Me quedó un poco larga, pero la idea es que pueda aportar algo al que la lea y hacer los pasos lo más naturales posibles, así que creo que es llevadera Primer paso: Acá vamos a reflexionar un poco sobre la configuración. Una vez que uno se arma un buen diagrama, empieza a ver varias potencias de un ...
por Turko Arias
Jue 24 Jun, 2021 8:21 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Zonal 2021 - N3 P2
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Re: Zonal 2021 - N3 P2

Notamos que para el borde, vamos a utilizar un total de $2n+2m-4$ (para tener cuidado de no estar contando dos veces las esquinas) fichas azules, y para el interior un total de $(m-2)(n-2)$ fichas verdes. Tenemos entonces la siguiente igualdad: $$2n+2m+4=(m-2)(n-2)$$ $$2n+2m+4=mn-2n-2m+4$$ $$mn-4n-...
por Turko Arias
Jue 24 Jun, 2021 7:26 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Zonal 2021 - N2 P3
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Re: Zonal 2021 - N2 P3

La idea copada: Si tengo un triángulo $ABC$ y una recta $l$ paralela a $BC$ que pasa por $C$, entonces, para cualquier punto $D$ sobre $l$, los triángulos $ABC$ y $ABD$ tienen la misma área. Para probar esto, basta notar que, considerando la base $BC$, ambos triángulos tienen la misma altura por est...
por Turko Arias
Vie 11 Jun, 2021 10:48 pm
Foro: Problemas
Tema: Maratón de Problemas
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Re: Maratón de Problemas

Problema 374

Sea $\mathbb{P}$ el conjunto de todos los números primos. Hallar todas las funciones $f:\mathbb{P}\rightarrow\mathbb{P}$ tales que:$$f(p)^{f(q)}+q^p=f(q)^{f(p)}+p^q$$para todos $p,q\in\mathbb{P}$.
por Turko Arias
Vie 11 Jun, 2021 1:03 pm
Foro: Problemas
Tema: Maratón de Problemas
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Re: Maratón de Problemas

Sean $P(x), Q(x)$ polinomios con coeficientes enteros tales que $P(x)Q(x)=T(x)=(x-a_1)...(x-a_n)-1$ y tales que ninguno de los dos es constante. Tenemos entonces que: $$P(a_1)|T(a_1)=-1$$ $$P(a_2)|T(a_2)=-1$$ $$...$$ $$P(a_n)|T(a_n)=-1$$ Y tenemos que: $$Q(a_1)|T(a_1)=-1$$ $$Q(a_2)|T(a_2)=-1$$ $$.....
por Turko Arias
Vie 11 Jun, 2021 12:02 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: APMO 2021 Problema 1
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Re: APMO 2021 Problema 1

Primero que nada notemos que $\lfloor r \rfloor = \sqrt{\lfloor r \rfloor} \sqrt{\lfloor r \rfloor} \leq \sqrt{r} \sqrt{ \lfloor r \rfloor} \leq \sqrt{r} \sqrt{r}=r$ por lo que $\lfloor \sqrt{r} \sqrt{ \lfloor r \rfloor} \rfloor = \lfloor r \rfloor$, de donde $x=\sqrt{r \lfloor r \rfloor}$ es una s...