Se encontraron 18 coincidencias

por Martín Lupin
Lun 04 May, 2020 8:06 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Entrenamiento IMO 2014 - Problema 16 (N1)
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Re: Entrenamiento IMO 2014 - Problema 16 (N1)

La única solución es $f(n)=n$ para todo entero positivo $n$ y es fácil ver que cumple. Ahora voy a demostrar que es la única. Sea $P(n, m)$ la proposición $$m^2+f(n)\mid mf(m)+n$$ donde $n$, $m$ son enteros positivos. Por $P(n, f(n))$, tenemos que $$(f(n))^2+f(n)\mid f(n)\cdot f(f(n))+n$$ Como $f(n...
por Martín Lupin
Vie 17 Abr, 2020 3:53 pm
Foro: Problemas
Tema: Maratón de Problemas
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Re: Maratón de Problemas

Problema 353

Hallar todos los enteros positivos $n$ tales que $$a+b+c\mid a^n+b^n+c^n-nabc$$ para todos los enteros positivos $a, b, c$.
por Martín Lupin
Vie 17 Abr, 2020 3:50 pm
Foro: Problemas
Tema: Maratón de Problemas
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Re: Maratón de Problemas

Solución 352 Primero, sabemos que $\sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2}$. Vamos a dividir el problema en dos casos: $n$ par o $n$ impar. Si $n$ es par, entonces, como $k$ es impar, tenemos que $l^k+(n+1-l)^k$ para todo $1\leq l\leq \frac{n}{2}$ es divisible por $(n+1-l)+l=n+1$. Entonces $n+1\mid \sum_{i...
por Martín Lupin
Jue 20 Feb, 2020 3:25 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: APMO 2019 Problema 1
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Re: APMO 2019 Problema 1

Sea $P(a, b)$ la proposición $f(a)+b|a^2+f(a)f(b)$. Tomando $P(1, 1)$ vemos que $f(1)+1|f(1)^2+1\Rightarrow f(1)+1|2$, por lo que, como $f(1)$ es positivo, $f(1)=1$. Tomando $P(1, a)$ tenemos $1+a|1+f(a)\Rightarrow a\leq f(a)$. Ahora vamos a demostrar por inducción que $f(a)=a \forall a\in \mathbb{...
por Martín Lupin
Sab 01 Feb, 2020 11:36 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: OFO 2020 Problema 7
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Re: OFO 2020 Problema 7

Sea $M$ el punto medio de $AB$, $E$ la intersección de las rectas $BC$ y $AD$, $\alpha=\angle ABC=\angle BCD$ y $\beta=\angle ACD$. Como $BM=CD$ y $\angle MBC=\angle BCD=\alpha$, tenemos que $MD\parallel BC$. Entonces $D$ es el punto medio de $AE$. Luego como $\angle CDA=\angle CDE$ tenemos que $\t...
por Martín Lupin
Sab 01 Feb, 2020 11:29 am
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: OFO 2020 Problema 6
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Re: OFO 2020 Problema 6

Como se trata de una progresión aritmética, entre dos términos enteros siempre habrá la misma cantidad de términos no enteros. Llamemos $k$ a esta cantidad y $k'$ a la cantidad de términos no enteros antes del primer término entero y después del último término entero (nótese que $k'\leq 2k$ ya que ...
por Martín Lupin
Lun 06 Ene, 2020 7:13 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: ONEM 2018 - Nacional - Nivel 3 - P2
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Re: ONEM 2018 - Nacional - Nivel 3 - P2

a) Claramente $a, b, c \neq 0$. Por la condición del problema tenemos que $ca+b=c$, $ab+c=a$, $bc+a=b$. Sumando estas ecuaciones tenemos que $$ab+bc+ca+a+b+c=a+b+c\Leftrightarrow ab+bc+ca=0$$ Nuevamente por la condición del problema tenemos que $\frac{a}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}$, $\frac{b}{c}+\fr...
por Martín Lupin
Sab 04 Ene, 2020 2:09 pm
Foro: General
Tema: OFO 2020
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Re: OFO 2020

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por Martín Lupin
Mar 19 Nov, 2019 9:03 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Nacional 2019 - Nivel 1 - Problema 3
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Re: Nacional 2019 - Nivel 1 - Problema 3

Sea $P$ el pie de la bisectriz de $\angle BAC$. Sean $X$ un punto en la recta $AB$ tal que $XM\parallel AP$, $Y=AC\cap XM$, y $N'=XM\cap DE$. Vamos a demostrar que $N=N'$. Por el teorema de la bisectriz en $\triangle ABC$, obtenemos que $\frac{AB}{BP}=\frac{AC}{CP}$. Como $\triangle ABP\sim \triang...
por Martín Lupin
Lun 18 Nov, 2019 2:45 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Nacional 2019 N1 P1
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Re: Nacional 2019 N1 P1

Solución: Si $n\neq 1981$, entonces siempre gana Ana. En el primer turno, Ana elige borrar $n$ y reemplazarlo por $1981$ (si $n=2019$, Ana está obligada a hacer esta jugada). Luego Beto está obligado a borrar $2000$ y reemplazarlo por $1962$. Después Ana está obligada a borrar $1981$ y reemplazarlo ...