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Muy buen problema Pista: Sea $P_{n,i}$ la cantidad de particiones de un conjunto de n elementos en exactamente i grupos y $PA_{n,i}$ la cantidad de particiones alejadas de un conjunto de n elementos en exactamente i grupos (notar que $PA_{n,1}$ es 0 para todo n). Fijando al 1 en el primer grupo, ver...

Es por lo siguiente: 111111 = 1001 * 111 111111111111 = 111111000000 + 111111 = 111111 * (1000000 + 1) = (1001 * 111) * 1000001 111111111111111111 = 111111000000000000 + 111111000000 + 111111 = 111111 * (1000000000000 + 1000000 + 1) = (1001 * 111) * 1000001000001 Y así sucesivamente. Es decir, desgl...

Algunas ideas La idea es separar a los N partidos en conjuntos de (n - 1) partidos consecutivos y r partidos finales (con r < (n - 1)). Cada uno de ese conjunto de (n - 1) partidos consecutivos, se puede pensar como un torneo. El "campeón" de cada torneo es el que gana el último partido de...

pista 1) para n=p primo >3, 2^p - 1 no es divisible ni por 3 ni por 5 ni por 7, por lo que es divisible por algún q primo mayor que 7. 2) si n tiene un divisor primo p > 3, 2^n - 1 es divisible por el q relacionado a p de 1. 3) luego, los divisores primos de n son 2 y 3. 4) por otra parte, viendo ca...

Pista Al no ser m potencia de primo y ser m > 1, m se puede escribir como m = c * d, con c y d coprimos y c y d mayores a 1. Si m=n, se puede hacer con un solo ciclo de tamaño m. Si m<n, (ejercicio para el lector), demostrar que se puede escribir n como x * c + y * d con x,y enteros positivos. Luego...

Se me ocurre solo por casos Sean x, y, z los lados del paralelepípedo, con x<=y<=z. 1) Si x es 1 o 2, entonces todos los cubitos tienen al menos una cara azul. 2) Para x >= 3, la cantidad de cubitos es xyz y la cantidad de cubitos sin caras azules es (x - 2)(y - 2)(z - 2). 3) Si x = 3, entonces la r...

Notas: 1) Después de que Igna retira una bolilla, queda una cantidad impar de bolillas, por lo que queda una cantidad impar de cajas con un número impar de bolillas. 2) Después de que Mica retira una bolilla, queda una cantidad par de bolillas, por lo que queda una cantidad par de cajas (pudiendo s...

720 = 2^4 * 3^2 * 5 Es decir, tiene 3 primos en su factorización por primos. Pensemos cada uno de los 4 divisores de 720 elegidos por Juan en su factorización por primos. Estos 4 números se escriben como 2 ^ a * 3 ^ b * 5 ^ c (con a entre 0 y 4, b entre 0 y 2 y c entre 0 y 1). Para que uno de los 4...

El máximo de participantes que se puede es 7 Partamos de los 2 primeros participantes (PARTICIPANTES 1 y 2) con sus calificaciones. ABCDEFGH 11110000 11001100 Para cada uno de los restantes participantes x, la cantidad de 1's entre C y D, deberá ser la misma que la cantidad de 1's entre E y F (para...

Muy bueno Otra manera de encontrar una cota para el mínimo es partiendo de la fórmula $$Promedio_{min} = \dfrac{100}{n} + \dfrac{n}{2} - \dfrac{1}{2}$$ y compararla para n y para (n+1) y en base a eso determinar para qué valores de n es mayor para n que para (n + 1) y para qué valores de n es mayor ...