Se encontraron 1036 coincidencias

por Fran5
Lun 08 Ago, 2022 12:36 pm
Foro: Geometría
Tema: Cono 2022 P2
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Re: Cono 2022 P2

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Sean
$X$ la intersección de $BC$ con $EF$
$Y$ la intersección de $DI$ con $EF$
$Z$ el opuesto diametral de $D$.

Tenemos $$\{DZ;PQ\} \underset{D}{=} \{XY;MN\} = \{XD;BC\} = -1$$

y como $DZ$ es diámetro tenemos $DP = DQ$
por Fran5
Mié 22 Jun, 2022 8:18 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: XVII OLIMPIADA DE GEOMETRÍA EN HONOR A I.F. SHARYGIN - Ronda por correspondencia - P11
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Re: XVII OLIMPIADA DE GEOMETRÍA EN HONOR A I.F. SHARYGIN - Ronda por correspondencia - P11

Supongamos que $ABCDE$ es el pentagono y tenemos $M,N,O,P$ marcados, los puntos medios $AB,BC,CD,DE$ Por el teorema de Varignon, tenemos que si $MNOX$ es un paralelogramo, donde $X$ es el punto medio de $DA$ y también que $NOPY$ es un paralelogramo, donde $Y$ es el punto medio de $EB$. Luego podemo...
por Fran5
Jue 16 Jun, 2022 6:40 am
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Selectivo EGMO, Perú 2020. Problema 1
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Re: Selectivo EGMO, Perú 2020. Problema 1

Si $A$ tiene $a$ elementos y $B$ tiene $b$ elementos, entonces $A+B$ tiene como mucho $ab$ elementos. Luego queremos que $2k^2 \geq 2021$ de donde $k \geq 32$. Notemos además que $0 \in A$ y $0 \in B$ para que $0 \in A+B$. Es facil construirse el ejemplo al tomar $A = \{0,64,128,64 \cdot 3, \ldots,...
por Fran5
Dom 12 Jun, 2022 6:28 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Olimpíada de Mayo 2022 N2 P3
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Re: Olimpíada de Mayo 2022 N2 P3

Era por abajo Gianni...
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Por angulitos, $BFEC$ es cíclico, de donde $\angle BCF = \angle BEF = 45$ y $F$ está en la diagonal $AC$. Luego $DE = DF = BF = FE$ y el problema sigue
por Fran5
Dom 22 May, 2022 2:23 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: APMO 2022 P4
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Re: APMO 2022 P4

Acá está el paso clave... solo que lo demostraste un poco raro... Observación 3: Si $(n,k)$ es ganador, entonces $(m,k)$ es ganador para todo $m\leq n$. Demostración: Notemos que Ceci puede sacar una piedra de la primera caja únicamente cuando ya sacó todas las anteriores, de modo que si ganó con $n...
por Fran5
Mar 17 May, 2022 5:51 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: APMO 2022 P2
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Re: APMO 2022 P2

Este es un lindo problema.. Dime que usas un paralelogramo sin decirme que usas un paralelogramo.... En realidad uso lo siguiente: Teorema: Si $ABCD$ es un cuadrilátero, $O$ el punto de intersección de sus diagonales, entonces son equivalentes $ABCD$ es paralelogramo, $AB=CD$ y $AD=BC$, $AO=OC$ y $B...
por Fran5
Mié 11 May, 2022 7:31 am
Foro: Algebra
Tema: EGMO 2022 P3
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Re: EGMO 2022 P3

Notación horrible, pero lo importante es darle la vuelta la suma... Notemos que$$na_1+(n-1)a_2+\cdots +a_n=\sum \limits _{i=1}^n(n+1-i)a_i=\sum \limits _{i=1}^n\sum \limits _{j=i}^na_i=\sum \limits _{j=1}^n\sum \limits _{i=1}^ja_i=\sum \limits _{j=1}^ns_j$$donde $s_j=a_1+a_2+\cdots +a_j=\sum a_i$. ...
por Fran5
Sab 07 May, 2022 6:22 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Selectivo IMO 2022 P4
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Re: Selectivo IMO 2022 P4

Un comentario: Para $p,q$ coprimos, por la identida de Bezout (Bizu para los amigos), tenemos que existen enteros $s,t$ tales que $sp + tq = -1$. Luego $$1+sp +tq =0.$$ Si $s < 0$ podemos cambiarlo por $S= s + k_1pq$ y si $t< 0$ podemos cambiarlo por $T = t + k_2pq$ para $k_1,k_2$ suficientemente gr...
por Fran5
Vie 06 May, 2022 6:15 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Selectivo IMO 2022 P3
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Re: Selectivo IMO 2022 P3

Notación horrible.... espero que alguien tenga una forma más elegante de contar lo que dije Recomiendo el uso de protector ocular Numeremos los vértices $v_i$, del $0$ al $119$ Es claro que el ángulo que forman dos vértices $v_i,v_{i+1}$ con cualquier otro $v_j$ es independiente de la elección del $...
por Fran5
Vie 06 May, 2022 3:36 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: Selectivo IMO 2022 P2
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Re: Selectivo IMO 2022 P2

Yo: Mamá, podemos tener sobreyectividad en la eq funcional? Mamá: ya tenemos sobreyectividad en la eq funcional Sobreyectividad en la eq funcional: Notemos primero que si $x=1$ entonces $f(f(y)) = f(y)+1$ de donde si $z = f(y)$ tenemos $f(z)=z+1$. Sería genial que $f$ fuera sobreyectiva, así $f(x)=...