Se encontraron 1053 coincidencias

por Fran5
Lun 21 Nov, 2022 6:20 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: ONEM 2021 - Fase 3 - Nivel 3 - P3
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Re: ONEM 2021 - Fase 3 - Nivel 3 - P3

sin usar la palabra "cuadrática" Solución; Tenemos $x,y$ tales que $x+y=xy = 4.05$, de donde $$(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy = 4,05^2 - 4 \cdot 4,05 = 16,4025 - 16,20 = 0,2025$$ Luego podemos suponer WLOG que $x \geq y $ con lo que $x-y = 0,45$ y luego se obtiene $x = \frac{(x+y)+(x-y)}{2} = 2,2...
por Fran5
Lun 14 Nov, 2022 3:20 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Torneo internacional de las ciudades Otoño 2020: Nivel Juvenil P1
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Re: Torneo internacional de las ciudades Otoño 2020: Nivel Juvenil P1

Idea (casi solución) Sea $O$ el centro de nuestra circunferencia (si es que existe). Lema: Para cada lado $AB$ del cuadrilátero, $O$ está en la región determinada por el lado $AB$, la perpendicular a $AB$ por $A$, la perpendicular a $AB$ por $B$, y que además contiene a los puntos $C$ y $D$ La demo ...
por Fran5
Sab 12 Nov, 2022 11:08 am
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Nacional 2022 - Nivel 3 - Problema 1
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Re: Nacional 2022 - Nivel 3 - Problema 1

En estos problemas en los que hay que mostrar que existen infinitos números que cumplen, siempre es buena idea exhibirlos en una familia . Esto es, decir " Los números $n$ de la forma nnnnn cumplen , y como hay infinitos nnnnnn, ganamos" El primer ejemplo que debería venirnos a la mente s...
por Fran5
Lun 31 Oct, 2022 9:55 am
Foro: Combinatoria
Tema: PAGMO 2022 P1
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Re: PAGMO 2022 P1

Vamos a considerar un problema parecido: En vez de escribir valores en cada casilla, escribiremos valores en cada borde: Cada borde entre casillas de distinto color sumará tres puntos, y cada borde de casilla del mismo color sumará un punto. Notemos que la suma total es igual a la suma del problema...
por Fran5
Mar 18 Oct, 2022 9:14 am
Foro: Problemas
Tema: FOFO 12 Años - Problema 6
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Re: FOFO 12 Años - Problema 6

Aquí publicaremos la solución oficial.
por Fran5
Vie 14 Oct, 2022 12:01 am
Foro: Problemas
Tema: FOFO 12 Años - Problema 6
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FOFO 12 Años - Problema 6

Sea $n$ un número natural. Decimos que una permutación $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ de $1,2,\ldots ,n$ es súper divisible si para todo entero $m$ tal que $1\leq m\leq n$ se cumple que $m$ divide a $2(a_1+a_2+\cdots +a_m)$. Determinar, para cada $n$, la cantidad de permutaciones súper divisibles.
por Fran5
Mar 11 Oct, 2022 8:57 am
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Claramente queremos usar Menelao... Notemos que $CDF$ y $CBE$ son semejantes, de donde $\frac{DF}{BE} = \frac{CD}{BC}$. Por otro lado, si $H$ en $BC$ es tal que $DH$ es paralelo a $GC$, tenemos $\frac{BG}{GD} = \frac{BC}{CH}$. Luego $$ \frac{AE}{EB} \frac{BG}{GD} \frac{DF}{FA} = \frac{AE}{BC} \frac...
por Fran5
Mar 04 Oct, 2022 11:08 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Entrenamiento IMO 2021 - Problema 22
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Re: Entrenamiento IMO 2021 - Problema 22

WLOG podemos suponer $AB=BD=DC =CA = \sqrt{2}$ de modo que $BC = 2$ y $AD=1$. b) Es inmediato que $AD$ y $BC$ son "ortogonales" (toda la figura es simétrica respecto del plano formado por $ADM$), de modo que bastaría ver que $\angle AMD = 60$, pero eso es directo pues $AD = 1 = MD=MA=MB=M...
por Fran5
Mié 28 Sep, 2022 7:08 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Nacional 2007 N1 P1
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Re: Nacional 2007 N1 P1

MathIQ escribió: Mié 28 Sep, 2022 5:16 pm
Spoiler: mostrar
Me dió un mínimo de 8 cortes.
Querés compartir cómo lo pensaste? :)
por Fran5
Mié 28 Sep, 2022 6:36 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Iberoamericana 2022 - Problema 1
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Re: Iberoamericana 2022 - Problema 1

Basta ver $CD$ es perpendicular a $BE$, ya que análogamente $BD$ es perpendicular a $CF$ y por tanto $P$ es ortocentro de $BCD$. Notemos que $BOC$ y $EOF$ son rotohomotéticos (de hecho hay una rotacion, sin homotecia), luego la recta $CF$ es la recta $BE$ rotada unos $\angle 120^{\circ}$. Ahora, $\...