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- Dom 22 Ene, 2017 12:20 am
- Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
- Tema: OFO 2017 Problema 6
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Re: OFO 2017 Problema 6
Solución oficial: Vamos a probar por inducción en el número de pasos que en todo momento los números escritos en el pizarrón (llamémoslos a , b , c y d ) son enteros y cumplen la ecuación a^2+b^2+c^2+d^2=2abcd+2\qquad \qquad(1) Los números originales satisfacen esta ecuación: 1^2+1^2+3^2+3^2=20=2.3....
- Dom 22 Ene, 2017 12:19 am
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- Tema: OFO 2017 Problema 10
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Re: OFO 2017 Problema 10
Aquí vamos a publicar la solución oficial.
- Sab 14 Ene, 2017 8:03 pm
- Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
- Tema: OFO 2017 Problema 6
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OFO 2017 Problema 6
Inicialmente en el pizarrón están escritos los números 1 , 1 , 3 , 3 . La operación permitida consiste en elegir uno de los números del pizarrón, digamos d , borrarlo y escribir en su lugar el número \frac{a^2+b^2+c^2-2}{d} , donde a,b,c son los números no elegidos. Se realiza una secuencia de varia...
- Sab 14 Ene, 2017 8:01 pm
- Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
- Tema: OFO 2017 Problema 10
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OFO 2017 Problema 10
Demostrar que para todo entero positivo [math] existe un entero positivo [math] (que depende de [math]) que satisface simultáneamente las siguientes dos condiciones:
- El número [math] tiene al menos [math] dígitos [math] en su representación decimal.
- La suma de los dígitos de [math] es menor o igual que [math].
- Lun 06 Jun, 2016 11:09 pm
- Foro: Problemas Archivados de Nivel 4
- Tema: 4ta CIMA (2016) - Problema 4
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Re: 4ta CIMA (2016) - Problema 4
Un poco más rebuscado: Reemplazando x por kx , k=1,2,3,4 , obtenemos un sistema de ecuaciones 1+xy+x^2y^2+x^3y^3=A(x)B(y)+C(x)D(y)+E(x)F(y) 1+2xy+4x^2y^2+8x^3y^3=A(2x)B(y)+C(2x)D(y)+E(2x)F(y) 1+3xy+9x^2y^2+27x^3y^3=A(3x)B(y)+C(3x)D(y)+E(3x)F(y) 1+4xy+16x^2y^2+64x^3y^3=A(4x)B(y)+C(4x)D(y)+E(4x)F(y) E...
- Jue 02 Jun, 2016 11:55 pm
- Foro: Problemas Archivados de Nivel 4
- Tema: 4ta CIMA (2016) - Problema 1
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Re: 4ta CIMA (2016) - Problema 1
Solo comento que se podía usar esa igualdad para resolver el problema 1 de la IMO de 1979.
http://www.artofproblemsolving.com/comm ... 6_1979_imo
http://www.artofproblemsolving.com/comm ... 6_1979_imo
- Sab 23 Ene, 2016 11:43 pm
- Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
- Tema: OFO 2016 Problema 12
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Re: OFO 2016 Problema 12
Supongamos que n\geq 2 es un número pacífico. Afirmamos que en ese caso 2^n+2 también es pacífico. Si probamos eso, entonces resulta que la cantidad de números pacíficos es infinita: nos podemos armar una secuencia (a_n) de enteros tal que a_1=2 y a_{n+1}=2^{a_n}+2 . Como 2 es pacífico ya que 2|2^2...
- Sab 23 Ene, 2016 11:39 pm
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- Tema: OFO 2016 Problema 2
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Re: OFO 2016 Problema 2
Notación: (ADE) denota el área del triángulo \Delta ADE . Del mismo modo, (ABCD) es el área del paralelogramo ABCD . Dibujemos el segmento DE . Puesto que el triángulo \Delta ADE y el paralelogramo ABCD comparten la misma base AD y tienen la misma altura h respecto a AD , tenemos que (ABCD)=AD.h=2(...
- Sab 16 Ene, 2016 11:53 pm
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- Tema: OFO 2016 Problema 2
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OFO 2016 Problema 2
Se tienen dos paralelogramos [math] y [math], tales que [math] está sobre el lado [math] y [math] está sobre el lado [math]. Demostrar que ambos paralelogramos tienen la misma área.
- Sab 16 Ene, 2016 11:48 pm
- Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
- Tema: OFO 2016 Problema 12
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OFO 2016 Problema 12
Diremos que un entero positivo [math] es pacífico si [math] es un divisor de [math], y además [math] es un divisor de [math]. Decidir si la cantidad de números pacíficos es finita o infinita.