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owo Sea $(x,y)$ un par lindo donde $a$ y $b$ son sus medias aritmética y geométrica respectivamente. $x + y = 2a$ $xy = b^2$ Para ello escribimos: $x = x’^2 mcd(x, 2a-x) = x’^2 d$ $y = 2a - x = y’^2 mcd(x, 2a-x) = y’^2 d$ $\frac{2a}{d} = a’$ $a’ = y’^2 + x’^2$ Luego es suficiente que $a’$ sea la sum...

Consideramos $n$ conjuntos de rectas paralelas $r_1 , r_2, ..., r_n$ y sean $x_1 , x_2, ..., x_n$ las $n$ raices enteras positivas del polinomio. Si tomamos $|r_i| = x_i$ veamos que se cumple lo pedido. En primer lugar por Vieta se verifica que: $|r_1| + |r_2| + ... + |r_n| = x_1 + x_2 + ... + x_n ...

Se tiene un cuadrilátero convexo tal que no hay tres de sus lados con los que se pueda formar un triángulo. Demostrar que:
$a)$ Uno de sus ángulos es menor o igual que $60°$. $\;\;\;\;$ $8 \; PUNTOS$
$b)$ Uno de sus ángulos es mayor o igual que $120°$. $\;\;\;\;$ $8 \; PUNTOS$

Determina si existen $100$ enteros positivos distintos tales que el cubo de uno de ellos es igual a la suma de los cubos de los $99$ restantes.

$8 \; PUNTOS$

Llamamos $X$-pentominó a una cruz formada por $5$ cuadraditos de $1\times 1$. Determinar si es posible recortar $9$ $X$-pentominós de un tablero de $8\times 8$, si no es necesario recortar siguiendo las líneas de la cuadricula.

$7 \; PUNTOS$

Ana y Beto juegan al siguiente juego. En cada turno, Ana Ie dice un número entero y Beto escribe o bien el número que acaba decir Ana, o bien la suma del número que acaba de decir Ana con todos los números ya escritos en el pizarrón. Determina si Ana puede asegurarse de lograr que en algún momento h...

Diremos que un par de enteros positivos distintos es lindo si su media aritmética y su media geométrica son ambas enteras. Determinar si es verdadero que para cada par lindo existe otro par lindo con la misma media aritmética. (Los pares $(a,b)$ y $(b,a)$ se consideran el mismo par.) Nota: Si $x$ e ...

Diremos que una circunferencia corta a un rectángulo de modo apropiado si corta a cada lado del cuadrilátero en dos puntos interiores distintos. Determinar si para cada cuadrilátero convexo existe por lo menos una circunferencia que lo corta de modo apropiado.

$4 \; PUNTOS$

Una mosca blanca se encuentra en una casilla de una esquina de un tablero de ajedrez de $1000\times n$ , donde $n$ es un entero positivo impar, $n>2020$. En las dos casillas de las esquinas, más próximas a la casilla de la mosca hay dos alfiles negros. En cada movida, la mosca salta a una casilla co...

Ana y Beto juegan un juego. Ellos escriben en un pizarrón fracciones de la forma $\frac{1}{n}$ con $n$ entero positivo. La primera en jugar es Ana. En cada turno, Ana escribe una sola fracción, y Beto, escribe una fracción en su primer turno, dos fracciones en su segundo turno, tres fracciones en su...