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Sea $d(a)$ y $d(b)$ la cantidad de dígitos de $a$ y $b$ respectivamente. Tomamos $n=\overline{1 \underbrace{0...01}_{d(a)} \underbrace{0...01}_{d(a)} ... \underbrace{0...01}_{d(a)} \underbrace{0...0}_{d(b)} }$ donde aparecen $k$ bloques de la forma $\overline{ \underbrace{0...01}_{d(a)}}$ por lo qu...

Veamos que si $n^q$ es racional y $q$ es positivo, $n^q$ es entero. Para ello supongamos que es racional y no entero donde $(a,b) = (c,d) = 1$. $n^{\frac{a}{b}} = \frac{c}{d}$ $d^b . n^a = c^b$ Ahora consideramos el exponente de cierto primo en la factorización de $d,c,n$ que son $e_d,e_c,e_n$ resp...

Hace un año que no subo nada ni me baño jaja Es claro que para todo $n$ si alguna de las variables es $0$ todas lo son y aparece la solución $(0,0,0)$. Ahora todas son distintas de $0$. Como $\frac{x^2+1}{2}$ es positivo $\frac{x^n}{y}$ lo es. Por lo que $x^n$, $y^n$, $z^n$ tienen el mismo signo que...

Nos definimos las funciones inversas donde pasamos de $n$ a $\frac{n}{3}$ y de $n$ a $n+1$. Sea $f(n)$ la cantidad de operaciones mínimas que se necesitan para llegar de $n$ a $1$ y sea $0 \leq i \leq 2$ tal que $n \equiv -i \; (3)$. Veamos que $f(n) = i +1 + f(\frac{n+i}{3})$: Supongamos que parti...

Sea $b_n = \frac{a_n}{2^{v_2(a_n)}}$ o dicho de otra forma, la parte impar de $a_n$. Si pasamos de $a_n$ a $a_{n+1}$ usando la segunda operación vemos que $b_{n} = b_{n+1}$. Ahora si usamos la primera: $a_{n+1} =2^{2v_2(a_n)}.b_n^2 + 2^m$ Donde podremos sacar factor común $2^{2v_2(a_n)}$ o $2^m$ de...

Me pareció una construcción bastante interesante la del final así que güeno. Para $n$ impar gana Mati: Supongamos que Mati está en el vértice $0$, el vértice final es $n-1$ y la trampa está en $X$. Mati se ve forzado a caer en la trampa si el número $p$ que dice Lucas satisface ser: $p \equiv X \equ...

Empezamos con preguntas del tipo “Es el dígito en la posición $i$ de la representación binaria del número pensado un $1$?”. Si Leonardo responde un “Sí” anotamos un $1$, caso contrario un $0$. Ahora como $2^{10} < 2003 < 2^{11}$ nos llevará $11$ preguntas determinar la representación binaria de est...

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Usando Vieta: $-(x_1 + ... + x_n) = a_{n-1} = 0$ $x_1^2 + ... + x_n^2 = (x_1 + ... + x_n)^2 - 2 \sum_{i<j} x_ix_j = -2a_{n-2}$ Luego el lado izquierdo de la desigualdad es $-a_{n-2}$. Además el derecho es $\frac{p(x)}{x^{n-2}} - x^2 - a_{n-2}$. Y todo junto es: $-a_{n-2} \geq \frac{p(x)}{x^{n-2}} -...