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$\angle DYX = \angle BDX$ por tangencia luego: $$\angle CBX = \angle DBX = 180^{\circ} - \angle BDX - \angle DXB = 180^{\circ} - \angle DYX - \angle CYD = 180^{\circ} - \angle CYX$$ Entonces $BXYC$ es cíclico y $KD^2 = KX \cdot KY = KB \cdot KC = KT^2$ y $KD = KT$ lo cual es de hecho una manera equ...

Sea $n$ peculiar, afirmo que $n$ es el producto de uno o dos primos distintos. Sea $p$ el menor divisor primo de $n$ luego tenemos que: $$\frac{n}{p}(\frac{n}{p} + 1) | n(n+1) \Rightarrow \frac{n}{p} + 1 | p(n+1) \Rightarrow \frac{n}{p} + 1 | p(n+1) - p^2 (\frac{n}{p} + 1) = p - p^2$$ Ahora si supo...

Es claro que no puede ser $a \geq 0$ luego supongamos que resulta $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} \leq a < 0$ luego: $P(a) \geq a^{101} + a^{99} + \cdots + a^3 + a + 1 > 1 + \sum\limits_{i=0}^{\infty} a^{2i+1} = 1 + a (\sum\limits_{i=0}^{\infty} a^{2i}) = 1 + \frac{a}{1-a^2} = \frac{1 + a - a^2}{1-a^2} \ge...

Notar que $\lfloor a + b \rfloor \geq \lfloor a \rfloor + \lfloor b \rfloor$ con igualdad sii $\lbrace a \rbrace + \lbrace b \rbrace < 1$ luego $\lfloor 2^{k+1}r \rfloor \geq 2 \lfloor 2^kr \rfloor$ Y además para $k > 1$ se da $3 \lfloor 2^kr \rfloor > 3 (2^kr - 1) \geq 2^{k+1}r \geq \lfloor 2^{k+1...

Aquí publicaremos la solución oficial.

Alan y Mili juegan al siguiente juego. Primero, Alan elige un número entero positivo $n$. Luego, Mili escribe una lista de números con las siguientes tres reglas. El primer número de la lista es $n$. Cada número después del primero es el resultado de tomar el número anterior, suprimir su dígito de l...

Me parece un problema muy cute Vamos a demostrar que sin importar lo que ocurra, es imposible que finalmente todos los amigos hayan comprado bengalas. Decimos que una amistad es mixta si es entre una persona que compró bengalas y otra que no. Sea $A$ la cantidad de amistades mixtas, afirmo que $A$ d...

Sean $A_1, \cdots, A_{2023}$ y $B_1, \cdots, B_{2023}$ los amigos de la primera y segunda sala respectivamente. Decimos que en una ronda dos jugadores $A_i$ y $A_j$ son muy-amigos si en sus partidas comparten exactamente dos rivales entre los $B$’s. Decimos además que dos $A_i$ y $A_j$ son súper-am...