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Sean $a$, $b$, $c$ sobre la circunferencia unitaria. Notar que $h_a = \frac{1}{2}(a+b+c - \frac{bc}{a})$ y $\frac{x + h_a}{2} = \frac{b+c}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}(-a+b+c+\frac{bc}{a})$ sea $M$ el punto medio de $XY$ luego $m = \frac{x+y}{2} = \frac{-a+b+c+ \frac{bc}{a} - b + a + c + \frac{ac...

Sean $a, b,c,d$ sobre la circunferencia unitaria. Supongamos que $a$, $0$, $\frac{b+d}{2}$, $c$ están sobre una circunferencia en ese orden luego $\frac{a-0}{0-\frac{b+d}{2}} \frac{\frac{b+d}{2}-c}{c-a}$ es un número real, por lo que es igual a su conjugado. Haciendo las cuentas, esa condición se r...

Este problema lo rendí y no me salió :( Sin pérdida de generalidad $x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_{100}$. Vamos a probar primero que lo mejor que puede hacer Mica es agrupar armando los productos $x_1x_{100}, \; x_2x_{99}, \; \cdots, \; x_{50}x_{51}$. Lema 1: Sea $A$ un agrupamiento con dos produc...

Este problema es una delicia, viva el fubol. a) Consideramos un conjunto cualquiera de $2022$ elementos $A = \lbrace a_1, a_2, \cdots, a_{2022} \rbrace$ donde todas las sumas son $s_1, s_2, \cdots, s_{2^{2022}-1}$. Sea ahora un $C$ súper grande de la forma $C = s_1^{e_1} \cdot s_2^{e_2} \cdot s_3^{e...

Es lo mismo que arriba: Sean $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$ y la elección $s = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots + a_n$ (recordemos que $n$ es impar). Notemos que: $$s = a_1 + (- a_2 + a_3) + (-a_4 + a_5) + \cdots + (-a_{n-1} + a_n) > a_1$$ Y también: $$s = (a_1-a_2) + (a_3 - a_4) + \cdots + (a_{n-2} - a_{...

Ordenamos los dados del $1$ al $n$. Cada tupla de números tiene $\frac{1}{m^n}$ chances de salir por lo que nuestra respuesta es de la forma $\frac{s}{m^n}$ donde $s$ es la cantidad de maneras de elegir los $n$ valores entre $1$ y $m$ de manera que sumen $x$. Ahora por cajitas y bolitas son $\binom...

Solución 1: Reflejamos $A$ por la mediatriz de $BC$ teniendo $A'$. Notar que la condición de ángulos que se pide demostrar, es equivalente a que $D, A', M$ están alineados. Ahora por construcción $CA'AB$ es un trapecio isósceles y ademas la condición de $\angle B = 2 \angle C$ nos dice que $CA' = A...

Decimos que $\mathcal C$ es no-válido si no cumple con las condiciones del enunciado. Notemos que un conjunto es no-válido sí y sólo sí existen dos números $a$ y $b$ tales que uno es divisor del otro. Esto ya que si $a|b$ entonces $mcm(a,b) = b$ que está en $\mathcal C$. Y si existe un par $a,b$ ta...

Sea $ABC$ un triángulo con $\widehat B=2\widehat C$ y $\widehat A>90^\circ$. Sea $D$ el punto de la recta $AB$ tal que $CD$ es perpendicular a $AC$ y sea $M$ el punto medio de $BC$. Demostrar que $A\widehat MB=D\widehat MC$.