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$$f(x)=\left (x+\frac{1}{2}\right )\chi_{\left [-1,-\frac{1}{2}\right )}(x)+\left (-x+\frac{1}{2}\right )\chi_{\left [-\frac{1}{2},0\right )}(x)+\left (-x-\frac{1}{2}\right )\chi_{\left (0,\frac{1}{2}\right ]}(x)+\left (x-\frac{1}{2}\right )\chi_{\left (\frac{1}{2},1\right ]}(x)$$Donde notar que $f...

La longitud de las tangentes al incírculo y excírculo desde $A$ son respectivamente $\frac{b+c-a}{2} = \frac{a}{2}$ y $\frac{a+b+c}{2} = \frac{3a}{2}$ luego por semejanza de triángulos el radio del excírculo de $A$ es $3r = R$. Luego si $A’$ es el excentro de $A$ resulta $OPA’Q$ un rombo y así si $...

Yo hace un par de años hice uno también para los pibes del poli, aprovecho a dejarlo por acá por si a alguno le sirve. Tiene un par de cosas piolas y problemas resueltos.

Afirmo que la respuesta es $n^2-n+1$. Para el ejemplo basta con no pintar los $n-1$ primeros números y es fácil ver que eso verifica la propiedad del enunciado. Ahora para la cota suponemos que $n>1$ (el caso $n=1$ es directo). Es claro que si el $1$ está pintado de rojo entonces es el único número...

Supongamos que no se da lo que dice el enunciado, luego existe $C < 2017$ tal que para todos $n$ y $k$ resulta: $$|a_0 a_1 \cdots a_k + a_1 a_2 \cdots a_{k+1} + \cdots + a_{n} a_{n+1} \cdots a_{n+k} | < C$$ Dado que el valor de esa expresión con cada término sumado aumenta o decrece en una unidad y...

Un número que es raíz de un polinomio mónico de coeficientes enteros

Lindito Es claro que la única solución constante que funcionan es $f = 0$, luego suponemos que $f$ no es constante. Llamemos $P(x,y)$ a la condición $f(f(x)) f(y) + f(x) = f(xy)$. $P(x,1)$ nos da que $f(f(x)) f(1) = 0$ luego o bien $f(1) = 0$ o $f(f(x)) = 0$ para todo $x$, si ocurre lo segundo, volv...