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EN EXCLUSIVA: Imágenes del nacional 2024 en la Falda, Córdoba

Queremos ver que $\sum (xyz)^3 \leq 1$ con $a$, $b$, $c$, $d$ reales positivos que verifiquen $a+b+c+d = 3$. Vamos a probar que la suma anterior sobre la tupla $(a,b, c,d)$ de reales positivos con $a \leq b \leq c \leq d$ es menor o igual que la misma suma sobre la tupla $(0, a+b, c, d)$. O sea que...

Felicidades Drynshock por el Sel Ibero, sos un ejemplo más de la utilidad de este gran foro.

Muy lindo, me gustó Sea $P(x,y)$ la identidad $(x^2-y^2)f(xy) = xf(x^2y) - yf(y^2x)$. De $P(x,1)$ se tiene que $f(x^2) = xf(x)$ para los $x \neq 0$. Evaluando $P(x^2, y^2)$ para unos $x$, $y \neq 0$ queda: $$(x^4 - y^4)f((xy)^2) = x^2f((x^2y)^2) - y^2 f((y^2x)^2)$$ Sacando los cuadrados de la $f$ po...

No sé si es lo mejor encararlo por ahí jajajsj encontrar ese $H$ va a doler. Cuando tenga más tiempo completo esta solución pero la idea principal es marcar $D$ como el punto medio del arco $BC$ y $P$ como el pie de la altura de $O$ en ese triángulito. Si probás que la cuenta del Menelao en $\triang...

Por $AM-GM$ tenemos: $$ \frac{1}{2^n} + \frac{1}{2^n} (\frac{2}{1+a_n})^{2^n} \geq \frac{1}{2^n} (2 \cdot (\frac{2}{1+a_n})^{2^{n-1}}) = \frac{1}{2^{n-1}} (\frac{2}{1+a_n})^{2^{n-1}}$$ Ahora el problema se seguiría de ir pegando a los $a_i$ a un producto grande si pudiéramos demostrar que: $$\frac{...

Sea $\frac{10^n b + a}{10^n a + b} = k$ es claro que como ambos tienen la misma cantidad de dígitos y son distintos resulta $2 \leq k \leq 9$. Luego ordenando: $$b (10^n - k) = a ( 10^n k - 1)$$ Por lo que $10^n k - 1 | b (10^n - k) \equiv b (\frac{1}{k} - k)$ donde se sigue que $10^n k - 1 | b (k^...

Sea $c$ el mayor divisor de $g$ que es coprimo con $a$ y $b$. Luego resulta para $n$ grande que: $$c | a^{n+1} + b - a(a^n + b) = b - ab \Rightarrow c | 1 - a$$ Y análogamente $c | 1 - b$ luego $c | a^n + b \equiv 2$ por lo que $c = 1, 2$. Además si $d = \gcd(a, b)$ y $a = Ad$ y $b = Bd$ resulta: $...

Hola Drynshock El orden de un número $n$ módulo $m$ (que lo denoto como $ord_m(n)$) es el menor entero positivo $k$ que verifica $n^k \equiv 1 \; (m)$, este existe si y solo sí $\gcd(m,n) = 1$. Es claro que si existe, entonces $\gcd(m,n) = 1$ dado que si compartieran un divisor común $d$ entonces to...

Si extendemos $AP$ hasta cortar $(ABC)$ en $K$ resulta $AQ = QK$ luego para probar lo pedido bastará probar que si hacemos una homotecia con centro en $A$ de razón $\frac{4}{3}$, $P$ va a parar sobre $(ABC)$. Para eso, sea $(ABC)$ la circunferencia unitaria con complejos $a$, $b$, $c$ sobre ella, n...