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Problema $231$

Dos circunferencias $\omega _1, \omega _2$ se intersecan en $A$ y $B$. Probar que el lugar geométrico de los puntos $P$ tales que $\text{Pot}(P,\omega _1) = k \cdot \text{Pot}(P,\omega _2)$, con $k$ constante, es una circunferencia que pasa por $A$ y $B$.

Solución $230$ Sea $H$ en $BC$ tal que $AH$ es altura. Sea $A'$ el reflejo de $A$ por $H$. Notemos que por Thales, $\frac {BH}{EH} = \frac {CH}{DH}$. Luego, $BH \cdot DH = CH \cdot EH$, por lo que $H$ pertenece al eje radical entre $(ABD)$ y $(ACE) \Rightarrow AH$ es eje radical. Ahora bien, notemos...

En un torneo de ping pong participan $n \geq 3$ jugadores que llamaremos $1,2, \dots, n$. Las reglas del torneo son las siguientes: al comienzo, los jugadores están en una fila, ordenados de $1$ a $n$. Los jugadores $1$ y $2$ juegan el primer partido. El ganador queda al comienzo de la fila y el per...

Diremos que un número primo (positivo) es bueno si es igual a la resta de dos cubos enteros positivos. Por ejemplo: $7$ es un primo bueno pues $2^3-1^3=7$.
Determinar cuánto puede valer el último dígito de un primo bueno. Dar todas las posibilidades.

Se tiene una fila de $n$ sillas, numeradas ordenadamente de izquierda a derecha de $1$ a $n$. Además, en los respaldos de las sillas se distribuyen los $n$ números de $1$ a $n$, uno en cada silla, de modo que en ningún caso coincida el número de la silla con el número de su respaldo. Hay un niño sen...

Sea $ABC$ un triángulo tal que $\widehat C=90^\circ$ y $\widehat A>\widehat B$. La altura $CH$ corta a las dos bisectrices $AM$ y $BN$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Sea $R$ el punto medio de $PM$ y $S$ el punto medio de $QN$. Demostrar que $RS$ es paralelo a la hipotenusa $AB$. Aclaración : $H$ pert...

Mili tiene $100$ tarjetas en blanco y escribe en cada una de ellas uno o varios números enteros positivos. Cada número puede figurar en una, varias o en ninguna tarjeta. Puede haber tarjetas repetidas. Felipe tiene que adivinar los números de las $100$ tarjetas, y para ello, en cada paso, debe señal...

Un entero positivo se dice simple si se puede escribir como suma de dos enteros positivos mayores que $1$ y coprimos entre sí. Por ejemplo, $102=35+72$ es simple pues $35$ y $72$ son coprimos ya que el único divisor común es el $1$. Determinar todos los enteros positivos simples . Aclaración : Dos e...

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En mi opinión, este es el problema de regional más de difícil de la historia... De hecho me hace acordar a un problema de selcono de hace unos años que solo una persona ( ;) ) supo resolver completamente en la prueba. Siendo $D,E,F$ los pies de las alturas $AD,BE,CF$, tenemos que hay una homotecia d...