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Un examen de opción múltiple consta de un total de $4$ preguntas y cada pregunta tiene tres posibles respuestas: $A$, $B$ y $C$. Varios estudiantes rindieron el examen y, luego de revisar, el profesor se dio cuenta que cualesquiera tres estudiantes tienen al menos una pregunta con tres respuestas di...

A partir de un número natural, la operación $S$ consiste en sumarle uno de sus dígitos y la operación $R$ consiste en restarle uno de sus dígitos. Por ejemplo, si aplicamos una operación $S$ al número $705$ podemos obtener $705$, $710$ o $712$. Si aplicamos una operación $R$ al número $18$ podemos o...

Encuentre todas las ternas $(a,b,c)$ de números enteros, con $c\geqslant 0$ tales que:
$\bullet$ $2ab$ no es un cuadrado perfecto.
$\bullet$ Para todo entero positivo $n$, el número $\dfrac{b^n+c}{a^n+2^n}$ es entero.

Halle todos los enteros positivos $d$ que pueden escribirse en la forma$$d=\text{mcd}\left (\left |x^2-y\right |,\left |y^2-z\right |,\left |z^2-x\right |\right ),$$donde $x,y,z$ son enteros positivos coprimos dos a dos tales que $x^2\neq y,y^2\neq z,z^2\neq x$.

Sea $n$ un entero positivo. Se tiene un tablero de $(2n)\times (2n)$, donde $3n$ de sus casillas están marcadas. Probar que es posible eliminar todas las casillas marcadas, eliminando $n$ filas y $n$ columnas.

Un caballo de ajedrez alterna realizando un "movimiento normal" y un "movimiento corto" CABALLO.png Las casillas pintadas son los lugares donde el caballo puede ir después de un movimiento (según el tipo de movimiento). El caballo se debe mover en un tablero de $5\times 6$, comen...

Dado un número entero positivo $n$, encuentre el número de sucesiones de longitud $n$ cuyos elementos son únicamente $0$ y $1$ tales que el número de veces que aparece $00$ en la sucesión es igual al número de veces que aparece $11$ en la sucesión. A manera de ejemplo, cuando $n=4$ tenemos exactamen...

Una nueva pieza de ajedrez llamada mamut se mueve como un alfil (es decir, de forma diagonal), pero solamente en $3$ de las $4$ direcciones posibles. Distintos mamuts en el tablero pueden tener direcciones faltantes distintas. Encuentre el número máximo de mamuts que es posible colocar en un tablero...

Determine el mayor número real $\lambda$ que tiene la siguiente propiedad: Para todo intervalo no vacío $[a,b]$ que no contiene ningún entero, existe un entero positivo $N$ tal que el intervalo $[Na,Nb]$ no contiene ningún entero y además la longitud del intervalo $[Na,Nb]$ es mayor o igual que $\la...