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Problema 4 Solucion Oficial: Notemos en primer lugar que ni $a$ ni $f$ pueden ser iguales a $0$, ya que de lo contrario alguno de los numeros que el enunciado nos dice que son negativos serian iguales a $0$. Vamos a ver entonces que $a$ y $f$ no pueden tener ambos el mismo signo. Para ello, vamos a...

Sean $a,b,c,d,e,f$ seis números enteros tales que los números$$a \cdot (b-c+d-e+f)\qquad \text{y}\qquad f\cdot (a-b+c-d+e)$$son ambos negativos (menores que $0$). Demostrar que el número $a\cdot f$ también es negativo.

Definimos $A=\sqrt[3]{a}$, $B=\sqrt[3]{b}$ y $C=\sqrt[3]{c}$. Asumo que los tres números son distintos, en caso contrario es evidente el resultado. Notemos que existen enteros $n$ y $m$ tales que $B=km+A$ y $C=kn+A$ para cierto real $k$. Consideramos $$\frac{C-A}{B-A}=\frac{n}{m} \in \mathbb{Q}.$$ ...

Solución oficial: Vamos a probar el enunciado utilizando inducción en $n$, donde $n$ es tal que todos los números escritos tienen a lo sumo $n$ divisores. Para el caso $n=1$ es claro, pues deberían ser todos $1$. Supongamos que vale para $n \geq 1$ y veámoslo para $n+1$. Supongamos primero que exis...

Eduardo aragon escribió: ↑

Vie 10 Abr, 2020 2:24 am

Una pregunta en la 7.... Se refiere a q cualquier entero positivo k se puede encontrar infinitos elementos tq el mcd entre cada 2 numeroa seaa k?? O k es segun la conveniencia de Ian...??

Una vez escritos los infinitos términos, Ian elige los números pintados de celeste y el entero positivo $k$.

En un pizarrón infinito, Ian escribió infinitos enteros positivos distintos. Se sabe que ninguno de los enteros positivos que escribió tiene más de $2020$ divisores. Demostrar que Ian puede elegir un entero positivo $k$ y colorear infinitos números de celeste de forma tal que el máximo común divisor...

No me quedó claro, puedo salir de mi casa durante la competencia?

Solución Oficial: Respuesta: Cami no puede encontrar un primo de forma tal que el doble de su primo sea la suma de los primos de Bruno. Vamos a probar de forma más general que si $p$ y $q$ son dos primos consecutivos, entonces $p+q$ no puede ser el doble de un número primo $r$. Observemos que si $p...

Solución oficial: Respuesta: Las únicas soluciones que funcionan son de la forma $\left (x,y,\frac{1}{y},\frac{1}{x}\right )$ con $x>y>1,$ y todas sus permutaciones. En efecto, supongamos sin perdida de generalidad que $a>b>c>d>0$. Notemos que como $abcd=1$ entonces $$a+b+c+d=\frac{bcd+acd+abd+abc}...

Bruno escribe en el pizarrón una lista con todos los números primos entre $1$ y $2020$, ordenados de menor a mayor:$$2,~3,~5,~7,~11,~\ldots,~2011,~2017.$$Luego, Camila elige dos números en posiciones consecutivas de la lista de Bruno y los suma. ¿Es posible que el resultado que obtiene Camila al sum...