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La idea es usar Palomar para ver que al menos un dígito aparece al menos $10$ veces, sumar $10$ veces ese dígito, dando un múltiplo de $10$, por lo que ese número divide a $N$, y por lo tanto, $10\mid N$, siendo $0$ el último dígito de $N$, luego $0\mid N$ al ser $0$ un dígito de $N$, lo que es abs...

Screenshot_20250704_073040_Geometry.jpg $C\widehat{Q}P=90°-Q\widehat{P}C=180°-(90°+Q\widehat{P}C)=S\widehat{P}B=\alpha$ Por ser $PQRS$ un cuadrado: $\overline{PQ}=\overline{PS}$ $\overline{PQ}=\frac{\overline{PC}}{sen(\alpha)}$ $\overline{PS}=\overline{PB}\times \frac{sen(45°)}{sen(45°+\alpha)}$ En...

Bueno, dado que nadie responde nada, voy a poner una pista para resolverlo, como spoiler, para que el que quiera pensarlo pueda hacerlo. Para trazar las tangentes a la circunferencia por $A$ y por $C$ usar Pascal con los siguientes hexágonos: $AABCXY$ y $ABCCXY$ siendo $X$ e $Y$ puntos cualesquiera ...

¿Tengo que subir la solución ya que pasó una semana?

Sea $\omega$ el circuncírculo de un triángulo $ABC$, dadas la circunferencia $\omega$ el el triángulo $ABC$ construir con solo regla no graduada el cuadrilátero cíclico $ABCD$ tal que $ABCD$ es armónico. Aclaración: Un cuadrilátero cíclico $ABCD$ es armónico sí y solo sí $\overline{AB}\times \overli...

Me di cuenta que lo de inversión está de más, ya sabía por el equilátero que $C\widehat{X}D=60°$.

Screenshot_20250513_082024_Geometry.jpg Sea $\omega$ la circunferencia de centro $C$ y radio $\overline{CD}$, la recta $\overline{AD}$ interseca a $\omega$ en $X$. $\overline{CD}=\overline{CX}$ y $C\widehat{D}X=A\widehat{B}C=60°$, luego, $CDX$ es equilátero, y $\overline{DX}=\overline{CD}$, luego, ...

Problema 242 Sea $ABCDEF$ un hexágono cíclico. Demostrar que si parto el conjunto de los seis puntos vértices del hexágono en dos subconjuntos disjuntos de tres vértices cada uno, y para cada subconjunto obtengo el ortocentro del triángulo determinado por los tres vértices del subconjunto, y luego u...

Screenshot_20250508_143209_Geometry.jpg $\overline{MB} \perp \overline{BC}$ entonces $\overline{BC}$ es tangente a la circunferencia de centro $M$ y radio $\overline{MB}$ en $B$, por lo tanto: $C\widehat{B}Q=B\widehat{P}Q \Rightarrow C\widehat{B}P=B\widehat{P}Q+Q\widehat{B}P=180°-B\widehat{Q}P$ Ent...

Screenshot_20250408_204426_Geometry.jpg Sea $A'$ la antípoda de $A$ con respecto al circuncírculo de $ABC$. Resulta que: $\overline{AA'}=2R=\overline{AT}$ $\overline{AS}=\overline{AS}$ $A'\widehat{A}S=B\widehat{A}S-O\widehat{A}B=C\widehat{A}S-C\widehat{A}D=T\widehat{A}S$ Para esto usé, lo de que $S...