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Subo esta solución porque tiene proyectiva, que es el segundo tema que más me gusta de geometría, después de complejos (aunque sean dos de los temas que con menos frecuencia resultan útiles en una prueba). Primero voy a ver que C, X e Y están alineados, y es acá donde uso proyectiva. Sea Z la inters...

Usé complejos, no voy a escribir la solución completa porque me llevó 6 hojas, pero para definir el ortocentro del triángulo OXY siendo O el circuncentro de ABC y X e Y los otros dos vértices del triángulo cuyo ortocentro te piden demostrar que está en AM usé la siguiente idea: Primero demostré (si...

Usé la misma idea que drynshock , para llegar a que: $S=\frac{2^{1023}-2}{3}-511$ A continuación: $S=\frac{1}{2} \times (\frac{2^{1024}-4}{3}-2^{10}+2)$ $S=\frac{1}{2} \times (\frac{4^{512}-1}{4-1}-4^{5}+1)$ Ahora uso esta notación: $a_x$ es cómo se ve un cierto número escrito en base x. Notemos qu...

Primero, cabe notar que como ABCD es un paralelogramo, al reflejar B por AC, resultando en B', ADB'C es cíclico, además, AB'=AB y B'C=BC. Ahora que tengo el cíclico uso Ptolomeo y obtengo: AB'.CD=AC.B'D+AD.B'C AC.B'D=AB'.CD-AD.B'C=AB.CD-AD.BC=7²-4²=33 AC².B'D²=33² Además, tengo que el área de ABC e...

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Notemos que $2^n-1$ es impar, entonces $2$ no es uno de los factores primos de $2^n-1$. Notemos que $2^n-1=\sum^{n-1}_{i=0}2^i$, por lo que si hay un número $d/d|n$, se puede separar los n términos presentes en la suma previamente mencionada en una cantidad entera de grupos, cada uno con d números,...

$N=a_i+p_i+p_i(n-2)+b(i)-f(i)$ $b(i)=i-2$ si $i≠1$, si $i=1; b(i)=0$ (es decir, está relacionado con la posición en la que inicia). $f(i)$ tiene una definición muy similar, solo que con respecto a la posición en la que finaliza, pudiendo valer entre $0$ y $n-2$ $p_i(n-1)=N-a_i-b(i)+f(i)$ $p_i=\frac...

Notemos que tras el primer movimiento, ningún número de la lista será más grande que n (y eso va a pasar siempre, pues solo hay n números), entonces, tras el segundo movimiento, $a_n=n$, por lo que los otros números de la lista no lo contarán a $a_n$, y $a_n=n$ para siempre, pues como dije antes, n...