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Sea $s(n)$ la suma de dígitos de $n$ y definamos $L_n=\overbrace{9\ldots9}^{n}$. Lema: Para todo $c<10^k$ se cumple $s(c\cdot L_k)=9k$. Demostración: Sea $c=\overline{a_1a_2\ldots a_k}$ con los primeros dígitos pudiendo ser cero. Podemos suponer que $a_k\neq0$ ya que si al sacarle todos los ceros a...

Es básicamente SelIMO 2007 P3

A lo largo de la solución vamos a usar que la suma o producto de dos racionales siempre es racional, y que si el producto no nulo de un racional con otro número es racional entonces ese otro número también es racional. En principio $(a-\sqrt{ab})-(b-\sqrt{ab})=a-b$ es racional y distinto de cero. $...

Nunca fui bueno en Educación Física. Supongamos, para llegar a un absurdo, que existe una función cumpliendo lo pedido. Sea $t$ el menor número para el que existe un natural $n$ tal que $f(n)=t$ (Existe porque la función está definida sobre los naturales). Lema: Si $f(a)=t$ entonces $a=1$ Demostraci...

Supongamos que distribuimos las tarjetas tal que la cantidad de pilas sea mínima. Sea $A$ la pila que tiene las tarjetas con el uno. Como $1+1=2$, las tarjetas con el dos están en una pila distinta de $A$, digamos $B$. Si sólo hubiese $2$ pilas, como $2+2=4$ entonces las tarjetas con el cuatro esta...

Hola BR1 . Mí interpretación es: en en un tablero cuadriculado el hombre parte de la esquina inferior izquierda, va a la esquina opuesta y después vuelve. A la ida solo puede subir o ir a la derecha y a la vuelta solo puede bajar o ir a la izquierda. Una vez que pasa por un segmento este queda "...

Sean $a_1,\ldots ,a_k$ números buenos que cumplan. Mirando módulo $100$ tenemos que cada $a_i$ aporta entre $-1$ y $-10$ a la suma (terminan en $99,98,\ldots,90$). Si $k\leq7$ entonces $a_1+\dots+a_k$ da un número entre $-1$ y $-70$ módulo $100$. Como $2022\equiv-78\pmod{100}$ se sigue que $k\geq8$...

Me inscribo!!

Primero analicemos los casos $n=1,2,\ldots,5$: $1\cdot2^0+1=2\rightarrow$ no cumple $2\cdot2^1+1=5\rightarrow$ no cumple $3\cdot2^2+1=13\rightarrow$ no cumple $4\cdot2^3+1=33\rightarrow$ no cumple $5\cdot2^4+1=81=9^2\rightarrow$ cumple Ahora veamos que para $n\geq6$ no hay soluciones. Notemos que $...