Se encontraron 166 coincidencias
- Dom 19 Ene, 2025 4:22 pm
- Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
- Tema: Olimpiada de Mayo 2007 N2 P1
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Re: Olimpiada de Mayo 2007 N2 P1
El número es $N=9876513240$. Es múltiplo de $5$ y $8$ porque termina en $240=5\times8\times6$ y es múltiplo de $11$ porque también lo es $(9+7+5+3+4)-(8+6+1+2+0)=11$. Supongamos que existe $M>N$ que cumple las condiciones. Como es múltiplo de $5$ y $8$ debe terminar en $0$ y como todas sus cifras s...
Re: OFO 2025
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- Mié 08 Ene, 2025 6:42 pm
- Foro: Problemas Archivados de Geometría
- Tema: Cono 2022 P2
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Re: Cono 2022 P2
Sea $T$ la intersección de $EF$ con la altura de $ABC$ por $A$. Tenemos que $CN,AT$ y $BM$ son perpendiculares a $BC$, por lo que son paralelas entre sí. Por las colinealidades, $AF\parallel FB$ y $TF\parallel FM$. Entonces $TAF$ y $MBF$ son semejantes con $\dfrac{AT}{AF}=\dfrac{BM}{BF}$. Análogame...
- Vie 27 Dic, 2024 10:46 pm
- Foro: Geometría
- Tema: Entrenamiento Rio 2022 N1 P23
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- Vie 27 Dic, 2024 10:13 pm
- Foro: Geometría
- Tema: Entrenamiento Rio 2022 N1 P20
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Re: Entrenamiento Rio 2022 N1 P20
a) Primero veamos que $A$, $A_2$ y $O$ son colineales. Como $B_1C_1\perp AA_2$ por la definición de simétrico, aprovechando que $AC_1HB_1$ es cíclico (pues $\angle AB_1H=\angle HC_1A=90°$) y que $O$ y $H$ son conjugados isogonales, $$\angle BAA_2=90°-\angle B_1C_1A=90°-\angle B_1HA=\angle HAB_1=\ang...
- Jue 26 Dic, 2024 1:49 am
- Foro: Combinatoria
- Tema: XLV Torneo Internacional de las Ciudades Octubre 2023 NJ P5
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Re: XLV Torneo Internacional de las Ciudades Octubre 2023 NJ P5
Supongamos que la moneda falsa es el mono de jade. Nuestra misión será hallarlo antes de la próxima luna llena. Llamemos $A$ y $B$ a las balanzas. Notemos que independientemente de cuál usemos, si se equilibran están diciendo la verdad, si hay una diferencia de peso las figuras del plato indicado c...
- Jue 26 Dic, 2024 1:36 am
- Foro: Combinatoria
- Tema: Entrenamiento Rio 2022 N1 P25
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Entrenamiento Rio 2022 N1 P25
Hay $n$ fichas en la casilla izquierda de una franja de $1\times \ell$. Una movida legítima es mover una ficha cualquiera $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ o $6$ posiciones hacia la derecha. Los jugadores $A$ y $B$ hacen movidas por turnos; $A$ juega primero. El ganador es el que ubica una ficha en la casilla...
- Jue 26 Dic, 2024 1:36 am
- Foro: Combinatoria
- Tema: Entrenamiento Rio 2022 N1 P24
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Entrenamiento Rio 2022 N1 P24
Se tienen un polígono regular de $13$ lados y un polígono regular de $17$ lados con un número natural escrito en cada uno de sus vértices. La suma de los números en el polígono de $13$ lados es igual a la suma en el polígono de $17$ lados e igual a $S$. Hallar todos los $S\geqslant17$ para los cuale...
- Jue 26 Dic, 2024 1:34 am
- Foro: Geometría
- Tema: Entrenamiento Rio 2022 N1 P23
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Entrenamiento Rio 2022 N1 P23
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$. El incírculo $\omega$ del triángulo toca a los lados $BC,CA,AB$ en $D,E,F$ respectivamente. La recta perpendicular trazada por $C$ a $BC$ corta a $EF$ en $M$, y de modo similar, la recta perpendicular trazada por $B$ a $BC$ corta a $EF$ en $N$. La r...
- Jue 26 Dic, 2024 1:32 am
- Foro: Teoría de Numeros
- Tema: Entrenamiento Rio 2022 N1 P22
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Entrenamiento Rio 2022 N1 P22
Hallar todas las ternas $(x,y,z)$ de enteros positivos que satisfacen $x+y=9269$ y $(x+z)(5y-z)=z^2$.