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Aquí publicaremos la solución oficial

Juan Carlos escribe $2019$ números reales no negativos, uno en cada vértice de un polígono regular de $2019$ lados, de modo que la suma de estos números es $\frac{2019}{2}$. Luego, en cada uno de los $2019$ lados del polígono, Juan Carlos escribe la diferencia positiva de los dos números que se encu...

Solución Oficial OFO 2018 P3.png Sea $Q$ un punto en la prolongación de $PC$ tal que $BP=CQ$. Como $PBAC$ es un cuadrilátero cíclico, $\angle ABP = 180^{\circ} − \angle ACP = \angle ACQ$. Como $AB=AC$, $\angle ABP=\angle ACQ$ y $BP=CQ$, los triangulos $ABP$ y $ACQ$ son congruentes por el criterio d...

Aquí vamos a publicar la solución oficial.

Si, cuentan como distintos.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB = AC$ y sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sobre el arco $BC$ de $\Gamma$ que no contiene a $A$ se marca un punto $P$, más cerca de $B$ que de $C$. La recta perpendicular a $PC$ que pasa por $A$ corta a $PC$ en $D$. Demostrar que $PB + PC = 2PD$. AC...

Sea $P$ un polinomio de coeficientes enteros y sea $k \geq 2$ un entero. Supongamos que para todo entero positivo $n$ se cumple que $\sqrt[k]{P(n)}$ es entero. Probar que existe un polinomio $Q$ de coeficientes enteros tal que $P = Q^k$.

Esta es más o menos mi solución durante la prueba. Le cambie dos o tres pasos vi que se podían hacer más cortos y elegantes. Sea P(x,y) evaluar f(yf(x)-x)=f(x)f(y)+2x en (x,y) . P(0,0) : f(0)=f(0)^2 . Entonces o bien f(0)=0 o bien f(0)=1 . Si f(0)=0 : P(-x,0) entonces f(x)=-2x . Vemos que verifica: ...

Empecemos viendo que si k\geq 2 entonces el orden de 5 modulo 2^{k} es 2^{k-2} . Sea N el orden de 5 modulo 2^{k} . Como N divide a \phi (2^k)=2^{k-1} (por propiedades del orden) entonces N es una potencia de 2 . Que implica N=2^{N'} . Por el lema de Hensel para p=2 tenemos v_{2}(5^{N}-1)=v_{2}(N)+...

Sea p_i la i -esima pesada. Empezamos dando una forma de conseguir cumplir el objetivo de Demetrio, en 5 pesadas. 1- En la primer pesada Demetrio pesa 50 monedas cualesquiera. 2- En la segunda pesada Demetrio pesa las 50 monedas restantes (que no agarro en la primera pesada). 3- Claramente entre la...