Se encontraron 504 coincidencias

por jhn
Lun 23 Jul, 2018 6:45 am
Foro: Combinatoria
Tema: IMO 2003 - P1
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Re: IMO 2003 - P1

Sea $D=\{x-y:x,y\in A\}$. $A_i$ y $A_j$ tienen un elemento común $x+t_i=y+t_j$ si y sólo si $t_i-t_j=y-x\in D$, por lo tanto elegiremos los $t_i$ de modo que las diferencias entre ellos no estén en $D$. Hay a lo sumo $101\times 100$ diferencias de dos elementos distintos de $A$, luego agregando el ...
por jhn
Dom 22 Jul, 2018 5:19 am
Foro: Problemas
Tema: Maratón de Problemas
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Re: Maratón de Problemas

La primera parte está bien, pero cuando cuando comienzas a aplicar palomar no, porque la fracción $(8k^2+8k+2)/(4k^2+4k+1)$ es exactamente igual a 2.
por jhn
Vie 20 Jul, 2018 8:48 pm
Foro: Problemas
Tema: Maratón de Problemas
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Re: Maratón de Problemas

Me faltó decir que $n$ es impar, sorry...
por jhn
Vie 20 Jul, 2018 3:59 pm
Foro: Problemas
Tema: Maratón de Problemas
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Re: Maratón de Problemas

Problema 317
Cada uno de los $2n(n+1)$ segmentos que son lados de alguna casilla de un tablero de $n\times n$, siendo $n$ un entero positivo impar, se pinta de rojo o de azul. Se sabe que hay a lo sumo $n^2$ segmentos rojos. Pruebe que alguna casilla tiene al menos tres lados azules.
por jhn
Jue 19 Jul, 2018 9:24 am
Foro: Problemas
Tema: OMCC 2018 - P6
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Re: OMCC 2018 - P6

Al finalizar el minuto $j$, para $j=1,2,\ldots, 1008$, la pareja en la posición $j$ pasa a la posición $2j$. Como $2j>j$, las posiciones 1, 2,\ldots, 1008 van quedando sucesivamente desocupadas y no se vuelven a ocupar. En el minuto 1009 se desocupa la posición 1009 (y se ocupa la 0, que ya estaba ...
por jhn
Jue 19 Jul, 2018 9:19 am
Foro: Problemas
Tema: Maratón de Problemas
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Re: Maratón de Problemas

Solución 316 Si $n=p_1^{a_1} \cdots p_k^{a_k}$ es la descomposición en primos de $n$, con $p_1<\cdots<p_k$, entonces $d(n)=(a_1+1)\cdots(a_k+1)$. Sea $b\ge 3/2$. La función $f(j)=b^j/(j+1)$ es creciente para $j=1,2,3,\ldots$. En efecto $f(j+1)/f(j)=b(j+1)/(j+2)\ge 2b/3\ge 1$. Por lo tanto $\sqrt{p^...
por jhn
Mié 18 Abr, 2018 4:47 pm
Foro: Algebra
Tema: Polinomios Buenos
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Re: Polinomios Buenos

Dados enteros $a_0, a_1,\ldots, a_5\in\{0,1,2,\ldots,119\}$ sea $P_k$ el polinomio de grado $\le k$ tal que $P_k(i)=a_i$ para $i=0,\ldots, k$. Por ejemplo $P_0(x)=a_0$ y $P_1(x)=a_0+(a_1-a_0)x$. Hay $120^{k+1}$ polinomios $P_k$, pero a partir de $k=2$ algunos coeficientes podrían ser racionales no ...
por jhn
Sab 14 Abr, 2018 3:24 am
Foro: Problemas
Tema: Maratón de Problemas
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Re: Maratón de Problemas

Te toca proponer.
por jhn
Jue 12 Abr, 2018 5:18 pm
Foro: Problemas
Tema: Maratón de Problemas
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Re: Maratón de Problemas

Problema 313
Hallar todas las soluciones enteras positivas de la ecuación $x^2+y^2=z^2$ tales que $y$ tenga 30 divisores positivos (contando a 1 y al propio $y$) y $x$ tenga 3.
por jhn
Jue 12 Abr, 2018 3:41 pm
Foro: Problemas
Tema: Maratón de Problemas
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Re: Maratón de Problemas

Edité la solución del 312, espero que ahora esté bien :D .