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En primer lugar supongamos que al menos uno de $a, b$ no es positivo; sin pérdida de la generalidad consideremos $a$ no positivo. Luego $a=0$ y así $$\dfrac{b^2}{-1}=\dfrac{a^2+ab+b^2}{ab-1}=k$$ para algún entero no negativo $k$. Notemos que a menos que $b=0$, el $LHS$ de la igualdad es siempre neg...

Notemos que los números del $1$ al $4$ no satisfacen las condiciones del enunciado, por lo que supondremos $n\geq 5$. Si $n$ es impar, sus divisores también lo son. Luego al considerar dos divisores $d_i$, $d_j$ bajo las condiciones del enunciado, módulo $2$ su resta es $d_i-d_j\equiv 1-1\equiv 0\p...

Sea $F$ la intersección de la recta $AO$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$, de modo que $A, O, E$ y $F$ están alineados. Llamemos $\omega_1$ a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ y $\omega_2$ a la circunferencia circunscrita del triángulo $AKL$ Es un hecho conoci...

Si $\hat{PCB}=\alpha$ y $\hat{PBC}=\beta$, entonces $\hat{BPC}=180^\circ-\alpha-\beta$. Además, como los ángulos de un cuadrado son rectos, tenemos que $\hat{FBP}=90^\circ-\beta$, y al ser $\hat{ABP}=90^\circ$ resulta $\hat{FBA}=\beta$. Análogamente $\hat{ECD}=\alpha$. Por otro lado, al ser $AB=BP$...

Notemos que $$\cos 15^\circ=\dfrac{AC}{AF}\iff AF\cos15^\circ=AC$$ por definición del coseno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Por otro lado, por el Teorema del Seno en el triángulo $AEC$ tenemos $$\dfrac{EC}{\sin30^\circ}=\dfrac{AC}{\sin105^\circ}\iff AC=\dfrac{\sin105^\circ}{\sin30^\...

Sí

Es el Problema $124$ de la maratón

Sea $L$ el conjunto de puntos del plano cartesiano con las dos coordenadas enteras. Pruebe que para cualesquiera tres puntos $A$, $B$ y $C$ de $L$ existe un cuarto punto $D$ en $L$, distinto de $A$, $B$ y $C$, tal que el interior de los segmentos $AD$, $BD$ y $CD$ no contiene ningún punto de $L$.