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Vie 22 Nov, 2019 8:44 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: APMO 2019 Problema 1
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Re: APMO 2019 Problema 1

La solución de arriba tiene un problema: No es correcto como descarta el caso $\frac{b}{x}$ no entero, para poder decir cuando $a \mid bc$ con $a$ y $b$ coprimos entonces $a \mid c$ el número $c$ tiene que ser entero. Por ejemplo $5 \mid 10 = 6 \times \frac{5}{3}$ y no puedo decir que entonces $5 \m...
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Dom 11 Ago, 2019 7:55 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: Selectivo Ibero 2019 - Problema 2
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Re: Selectivo Ibero 2019 - Problema 2

$S=x_2(x_2−x_0)+x_3(x_3−x_1)+x_4(x_4−x_2)+…+x_{2019}(x_{2019}−x_{2017})$ Lo podemos escribir como $S=x_2(x_1−x_0) + x_2(x_2-x_1)+x_3(x_2−x_1)+x_3(x_3-x_2)+x_4(x_3−x_2)+x_4(x_4−x_3) +\ldots + x_{2019}(x_{2018}−x_{2017})+x_{2019}(x_{2019}−x_{2018})$ Como la sucesión es creciente, ésta suma es por lo ...
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Mar 10 Jul, 2018 6:40 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: IMO 2018 - P4
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Re: IMO 2018 - P4

Veamos que el mayor $K$ posible es $100$. Para eso tenemos que ver dos cosas, que Ana puede asegurarse colocar $100$ piedras y que Beto puede asegurarse de que Ana no coloque más de $100$ piedras. Veamos primero que Ana puede asegurarse colocar $100$ piedras. Pintamos los lugares de blanco y negro ...
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Sab 27 Ene, 2018 12:05 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: OFO 2018 Problema 1
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OFO 2018 Problema 1

Determinar el menor entero positivo $N$ que cumple la siguiente propiedad: "Es imposible dividir los números $1,2,3,\ldots,2N$ en $N$ parejas de manera que las sumas de los números en cada pareja sean $N$ números primos distintos." (Para el valor hallado, justificar por qué es imposible formar las p...
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Vie 08 Dic, 2017 6:41 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Rioplatense 2017 - N3 P6
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Rioplatense 2017 - N3 P6

Para un entero fijo $n \in \mathbb{N}$, $n \geq 4$, y $l \in \mathbb{Z}$ sea $(l)_n \in [1,n]$ el menor resto positivo de $l$ módulo $n$. Dos sucesiones $a_1, \ldots, a_k$ y $b_1, \ldots, b_k$ con términos en $[1,n]$ son equivalentes si existe $t \in \mathbb{Z}$, con $t$ y $n$ coprimos, tal que la s...
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Vie 08 Dic, 2017 6:36 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Rioplatense 2017 - N3 P5
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Rioplatense 2017 - N3 P5

Dado un triángulo $ABC$ con incentro $I$, sean $P$ en $AC$ tal que $PI$ $\bot$ $AC$ y $D$ el punto simétrico de $B$ con respecto al circuncentro del triángulo $ABC$. La recta $DI$ interseca nuevamente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en el punto $Q$. Demostrar que $QP$ es la bise...
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Vie 08 Dic, 2017 6:32 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Rioplatense 2017 - N3 P4
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Rioplatense 2017 - N3 P4

¿Existe un número que se pueda escribir como la suma de $2017$ cuadrados de números enteros positivos distintos, de al menos $2017$ maneras distintas?
Aclaración: Dos sumas de cuadrados son la misma si una es un reordenamiento de la otra.
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Vie 08 Dic, 2017 6:29 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Rioplatense 2017 - N3 P3
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Rioplatense 2017 - N3 P3

Demostrar que existen infinitos pares de números enteros positivos $(m,n)$, con $m<n$, tales que
$m$ divide a $n^{2016}+ \ldots + n + 1$ y $n$ divide a $m^{2016} + \ldots + m + 1$.
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Vie 08 Dic, 2017 6:27 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Rioplatense 2017 - N3 P2
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Rioplatense 2017 - N3 P2

Se tienen en el plano $n$ circunferencias distintas del mismo radio tales que entre cualesquiera $k+1$ hay (al menos) dos que se cortan en dos puntos. Demostrar que para toda recta $l$ es posible hallar $k$ rectas, cada una de ellas paralela a $l$, de modo que cada circunferencia tenga al menos un p...
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Vie 08 Dic, 2017 6:24 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: Rioplatense 2017 - N3 P1
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Rioplatense 2017 - N3 P1

Sea $a$ un entero positivo fijo. Hallar el mayor entero $b$ tal que la igualdad $(x+a)(x+b) = x+a+b$ se satisface para algún entero $x$.