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Sean tres cuadrados, $ABCD$, $CEFG$ y $BJEK$. Probar que siempre existen 3 vértices, uno de cada cuadrado, que están alineados
y que además uno de los vértices es punto medio entre los otros dos.

Sean $\angle BAD=\angle ABD=\alpha$, $\angle BAC=\beta$, $\angle DAC=\delta$ y $P=BI\cap DC$. Vemos que $\alpha=\beta+\delta$ Calculamos <MIP como angulo exterior al triangulo $BMI$, entonces $\angle MIP=\frac{\delta}{2}+\frac{\angle BMC}{2}=\frac{\delta}{2}+\frac{\alpha+\beta}{2}=\alpha$ luego por...

Uso la misma notacion que @MathIQ y lo pago con un lindo dibujito. Llamemos $E$ a la intersección de $AI$ con $BC$. Sabemos que $MN\perp XD$ asi como $NT\perp AE$, luego $\angle MNT=\angle DIE=\angle TIY$ (porque es la mitad del ángulo central TIM) asi $\Delta DIE\cong \Delta TIY$ puesto que $TI=DI$...

Como $\angle FEO=\angle FDO=90$ entonces $FEDO$ es cliclico. Sea $G$ la interseccion de $FO$ con la circunferencia en el sentido F,O,G entonces ya que $FE\parallel AO$ tenemos que $\angle AOG=\angle EFO$ y por ciclico $FEDO$ tenemos que $\angle ADO=\angle EFO$ y que por isosceles $ADO$ tenemos que ...

Si, seguro que tenes razón. Estos problemas siempre me dieron dolor de cabeza

Sean $I=AP\cap BC$, $J=AP\cap EF$ y $K=EF\cap BC$. Sabemos que $(K,J,E,F)$ es una cuaterna armónica entonces si $AP\perp BC$ tenemos que el circuncirculo de $KIJ$ es la circunferencia de Apolonio respecto de $E,F$, luego sabemos que $\angle JIE=\angle JIF$(1) y como es fácil ver que $AEIDF$ es cícl...

Problema 229 Sea $I$ el incentro de un triangulo con lados $AB=13$, $BC=14$ y $AC=15$. Sean $A'$, $B'$ y $C'$ las reflexiones de $A$, $B$ y $C$ con respecto al punto $I$. El circuncírculo de $A'B'C'$ corta nuevamente a $BI$ y $CI$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. La bisectriz exterior de $...

Solución 228 Sabemos que $\angle AHC+\angle ABC=180$, ahora si decimos que $P$ es el ortocentro de $AYC$ tenemos que $\angle APC+\angle AYC=180$ pero $\angle APC=\angle AHC$ por ciclico AHPC, luego $\angle AYC=\angle ABC$, por lo tanto $Y$ se halla sobre el circuncirculo de $ABC$. Sean $Q$ y $R$ la...

Problema 222

Sea $ABC$ un triangulo con $\angle ACB=135$. Sean $P$ y $Q$ puntos tales que $\angle PCB=\angle QCA=90$ y además los triángulos $PCB$ y $ACQ$ son semejantes. Probar que las áreas de $ABC$ y $PQC$ son iguales.

Solución 221 Con dos circunferencias de radio $PC$ y centros en $P$ y $C$ construimos el punto $Q$ como lo muestra el dibujo, entonces $PCQ$ es un equilátero. Entre este equilátero y el $ABC$ hay una homotecia con rotación alrededor de $C$ y con $\angle PCB$. Entonces $\angle QCA=\angle PCB$. Y como...