Se encontraron 546 coincidencias

por Nacho
Lun 04 Sep, 2017 4:50 pm
Foro: Problemas Archivados de Nivel 4
Tema: Número de oro P5 2017 Estudiantes
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Re: Número de oro P5 2017 Estudiantes

Supongamos que no hay cuadrados perfectos en [n,2n] , de modo que tendríamos que x^2 < n y (x+1)^2 > 2n . Por lo tanto, (x+1)^2 > 2n > 2x^2 y como son todos enteros y dos desigualdades estrictas, tendremos que (x+1)^2 \geq 2x^2 + 2 . Pero x^2 + 2x + 1 \geq 2x^2+2 si y sólo si 0 \geq x^2 -2x+1 = (x-...
por Nacho
Lun 04 Sep, 2017 4:29 pm
Foro: Problemas Archivados de Nivel 4
Tema: Número de oro P9 2017 Estudiantes
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Re: Número de oro P9 2017 Estudiantes

Supongamos primero que 4p = 3k^2 + 1 . Claramente k es impar, y así k=2x+1 para un cierto x . Por lo tanto, 4p = 3(2x+1)^2 + 1 = 12x^2 + 12x + 4 de donde podemos dividir por 4 para obtener p = 3x^2 + 3x + 1 = (x+1)^3 - x^3 es una diferencia de cubos. La recíproca es similar, sólo tenemos que darnos...
por Nacho
Lun 04 Sep, 2017 4:25 pm
Foro: Problemas Archivados de Nivel 4
Tema: Número de oro P7 2017 Estudiantes
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Re: Número de oro P7 2017 Estudiantes

Es usar el truco clásico \dfrac{1}{k(k+m)} = \dfrac{1}{m}\left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+m}\right) . La suma telescopea y se cancelan todos los factores desde k>m y así el resultado queda \dfrac{1}{m}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^m \dfrac{1}{k}\right) = \dfrac{H_m}{m} ( H_m es la suma de los prime...
por Nacho
Lun 04 Sep, 2017 4:20 pm
Foro: Problemas Archivados de Nivel 4
Tema: Número de oro P1 2017 Estudiantes
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Re: Número de oro P1 2017 Estudiantes

Ni tanto, ni tan poco: Poné \alpha = \sqrt{2} + \sqrt[3]{3} , hacé \alpha - \sqrt{2} = \sqrt[3]{3} , elevá al cubo para obtener (\alpha-\sqrt{2})^3 = 3 , desarrollá y despejá la raiz cuadrada para obtener x^3 + 6x - 3 = \sqrt{2} (3x^2+2) , ahora elevá al cuadrado y pasá todo a un lado para obtener e...
por Nacho
Mar 10 Ene, 2017 7:57 pm
Foro: Algebra
Tema: IMO 1973 - P5
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Re: IMO 1973 - P5

Una mirada un poco más conceptual (para el que sepa algo de álgebra lineal) Cada función lineal f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} , f(x)=ax+b se puede identificar con la matriz \begin{pmatrix}a & b\\ 0 & 1 \end{pmatrix} . Bajo esta identificación, la composición de funciones se corresponde con la multiplica...
por Nacho
Jue 30 Jun, 2016 5:44 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Problema 3 Nivel 1 Zonal 2016
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Problema 3 Nivel 1 Zonal 2016

Sea [math] un rectángulo de lados [math], [math], [math] y [math]. Sea [math] un punto en el lado [math].
Si [math], calcular [math].
por Nacho
Jue 30 Jun, 2016 5:42 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Problema 2 Nivel 1 Zonal 2016
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Problema 2 Nivel 1 Zonal 2016

Un libro tiene [math] páginas numeradas desde el [math] hasta el [math]. Determinar cuántas veces aparece escrito el dígito [math] en los números de las páginas del libro.
por Nacho
Jue 30 Jun, 2016 5:40 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: Problema 1 Nivel 1 Zonal 2016
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Problema 1 Nivel 1 Zonal 2016

A y B participaron en una carrera. La cantidad de corredores que llegaron antes que A es igual a la de los que llegaron después que él. La cantidad de corredores que llegaron antes que B es igual al triple de los que llegaron después que él. Además, hubo exactamente 10 participantes que quedaron ub...
por Nacho
Mié 08 Jun, 2016 12:14 am
Foro: Problemas Archivados de Nivel 4
Tema: 4ta CIMA (2016) - Problema 5
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Re: 4ta CIMA (2016) - Problema 5

Recordemos que la transformada de Laplace de una función continua y acotada f:(0,\infty)\to\mathbb{R} se define como \mathcal{L}f(s) = \int_{0}^\infty e^{-st}f(t)dt . Podemos definir de este modo un operador lineal \mathcal{L}:\mathcal{C}_b(0,\infty)\to\mathcal{C}_b(0,\infty) donde \mathcal{C}_b(0,...
por Nacho
Mié 04 May, 2016 1:39 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Problema 3 Cono Sur 2016
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Problema 3 Cono Sur 2016

Alrededor de una circunferencia hay marcadas 2016 posiciones, con una ficha en una de ellas. Una movida legítima es mover la ficha o bien a 1 posición o bien a 4 posiciones desde su ubicación, en el sentido de las agujas del reloj. La restricción es que la ficha no puede ocupar la misma posición más...