Se encontraron 345 coincidencias

por JPablo
Mié 19 Feb, 2020 9:06 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Problema 5 Nivel 2 Río 2019
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Re: Problema 5 Nivel 2 Río 2019

LEMA: Sea $k\in \mathbb{N}$ tal que $k\geq 6$. Entonces $101k\leq 3^k$. Demostración: Para $k=6$ vale. Si vale para un $k\in \mathbb{N}_{\geq 6}$ genérico, entonces $3^{k+1}=3\cdot 3^k\geq 3\cdot 101k\geq 101\left (k+1\right )$, donde la última igualdad es válida pues equivale a $2k\geq 1$, lo cual...
por JPablo
Mié 11 Dic, 2019 3:03 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Regional 2001 N3 P3
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Re: Regional 2001 N3 P3

Como $OA=OD=OT$ por ser radios de la circunferencia, entonces $OAD$ es isósceles y por lo tanto la mediana correspondiente a $O$ es perpendicular a $AD$. Sea $OM$ esa mediana. Entonces, como $OM\perp AB$ y $BC\perp AB$, además de que $AB\parallel OT$, el cuadrilátero $ABTO$ es un rectángulo. Entonc...
por JPablo
Dom 10 Feb, 2019 7:27 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: OMEO 2019 N3 P2
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Re: OMEO 2019 N3 P2

Misma solución en otro lenguaje; y una manera más corta y concisa de probar la vuelta: Sea $G$ el grupo de personas. Definimos una relación $\sim $ en $G$ de modo que, para todo $\left (x,y\right )\in G^2$, $x\sim y$ si y solo si $x=y$ o bien $x$ y $y$ son amigos. Es claro, por definición, que $x\si...
por JPablo
Sab 09 Feb, 2019 3:37 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: OMEO 2019 N3 P3
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Re: OMEO 2019 N3 P3

Como $z^2$ es la suma de dos impares, $z$ es par. Por lo tanto, mirando la expresión del enunciado módulo $4$, $\left (-1\right )^x\equiv 1\pmod 4$, de donde $x$ es par y $\left (a^{\frac{x}{2}}-z\right )\left (a^{\frac{x}{2}}+z\right )=p^y$. Observemos que $p$ no puede simultáneamente dividir a $a...
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Dom 24 Jun, 2018 12:56 am
Foro: Problemas Archivados de Nivel 4
Tema: CIMA 2018 - Problema 4 (Competencia Interuniversitaria)
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Re: CIMA - Problema 4 (Competencia Interuniversitaria)

Para cada $i\in \left [1,d\right ]\cap \mathbb{N}$ la función $f_i:G\to G$ tal que $f_i\left (X\right )=A_iX$ tiene, por hipótesis, bien definido el codominio y, por ser $A_i$ una matriz inversible, resulta inyectiva. Al ser $G$ un conjunto finito, resulta biyectiva. Llamando $A:=\sum_{i=1}^dA_i$, ...
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Mié 20 Jun, 2018 1:42 pm
Foro: Algebra
Tema: Cuadrados
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Re: Cuadrados

Una solución alternativa: Sea $m\in \mathbb{N}_0$ tal que $a^2-bc=m^2$. Supongamos que $2a+b+c$ no es compuesto. Como $2a+b+c\geq 2+1+1=3$, entonces $2a+b+c$ es un primo que llamaremos $p$. Se sigue que $b=p-c-2a$, de donde (reemplazando en la primera igualdad) obtenemos $a^2-\left (p-c-2a\right )c=...
por JPablo
Sab 11 Nov, 2017 4:26 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Sobre un número entero positivo.
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Vistas: 1249

Re: Sobre un número entero positivo.

a) Si n no es primo, entonces existen a,b\in \mathbb{N} tales que n=ab con 1<a<n . Como 2^a\equiv 1\pmod {2^a-1} entonces 2^n=\left (2^a\right )^b\equiv 1^b=1\pmod {2^a-1} , de donde 2^a-1\mid 2^n-1 y como 1<a<n entonces 1<2^a-1<2^n-1 , por lo tanto 2^n-1 no es primo, absurdo. Por lo tanto n debe se...
por JPablo
Mié 11 Oct, 2017 4:14 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Taller de Nicaragua 2007
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Re: Taller de Nicaragua 2007

Spoiler: mostrar
Veamos que [math], el resto es simplemente hacer verificaciones y extraer las soluciones válidas.

Si fuera [math] entonces [math], luego [math], absurdo pues [math] no es residuo cuadrático módulo [math].
por JPablo
Mié 27 Sep, 2017 12:27 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: (ONEM 2016, NIVEL 3) - Problema de teoría de números
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Re: Problema de teoría de números

No hago las cuentas pero una forma de resolverlo es ésta (seguramente hay algo más fácil): La idea es hallar las soluciones de la ecuación p^2+11pq+25q^2=m^2 y después contarlas para responder la pregunta del problema. Reescribimos como \left (m-p-5q\right )\left (m+p+5q\right )=pq , entonces para c...