Se encontraron 141 coincidencias

por agleidhold
Mié 19 Feb, 2025 10:52 am
Foro: Problemas Archivados de Nivel 4
Tema: Número de Oro 2019 - P1
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Re: Número de Oro 2019 - P1

De tres números impares consecutivos siempre existe uno que será múltiplo de $3$. Si el primero es múltiplo ya estamos. Si el primero tiene resto $1$ en la división por $3$ el segundo será múltiplo de $3$ Si el primero tiene resto $2$, el tercero será múltiplo de $3$ Por lo que la única forma de qu...
por agleidhold
Mié 19 Feb, 2025 10:11 am
Foro: Problemas Archivados de Nivel 4
Tema: Número de ORO 2016 P3
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Re: Número de ORO 2016 P3

$$\prod_{k=2}^{2016}(1-\frac{1}{k^2})=\prod_{k=2}^{2016}\frac{k^2-1}{k^2}=\prod_{k=2}^{2016}\frac{(k-1)(k+1)}{k\times k}=(\prod_{k=2}^{2016}\frac{k-1}{k})(\prod_{k=2}^{2016}\frac{k+1}{k})$$ El primer productorio va a ser igual a $\frac{2-1}{2016}=\frac{1}{2016}$(se cancelan todos los factores menos...
por agleidhold
Mar 18 Feb, 2025 10:19 pm
Foro: OMAlbum
Tema: OMAlbum - Problema #A009
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Re: OMAlbum - Problema #A009

Spoiler: mostrar
Sea $a$ el dígito distinto a $7$. $a$ tienen $8$ posibles ubicaciones (que son cualquiera de la $8$ posiciones en el número), y $a$ tiene $8$ posibles valores (todos los dígitos menos el $7$ y el $0$). Así que en total hay $8\times 8=64$ números en la lista de Azul
por agleidhold
Sab 15 Feb, 2025 10:21 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Nacional 2022 - Nivel 2 - Problema 4
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Re: Nacional 2022 - Nivel 2 - Problema 4

Spoiler: mostrar
$$n=k+k+1+k+2+…+k+10=11k+55=11(k+5)\Rightarrow 11|n$$
$$n=m+m+1+m+2+…+m+11=12m+66=6(2m+11)\Rightarrow 6|n$$
$$n=p+p+1+p+2+…+p+12=13p+78=13(p+6)\Rightarrow 13|n$$
Por lo que el mejor valor que puede tomar n es $\text{mcm}(6;11;13)=858$ que podemos probar que efectivamente cumple lo pedido
por agleidhold
Sab 15 Feb, 2025 3:48 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Nacional 2024 N2 P3
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Re: Nacional 2024 N2 P3

b) La lista de los números con resto $3$ en la división por $4$ cumplen, o sea, con $a=3$ y $d=4$. Sabemos que los restos cuadráticos en módulo $4$ son $1$ y $4$. Pero los números de nuestra lista tienen resto $3$ en la división por $4$, así que NUNCA será cuadrados perfectos. Ahora veamos que exis...
por agleidhold
Vie 14 Feb, 2025 6:46 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Teorema de Gauss
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Teorema de Gauss

Sean $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ un polinomio con $a_i\in\mathbb{Z}, \forall i\in \mathbb{N}_0, 0\leq i\leq n,a_0\neq 0$, $p,q\in\mathbb{Z},\text{mcd}(p;q)=1:P(\frac{p}{q})=0\Rightarrow p|a_0, q|a_n$ Demostración: $$P(\frac{p}{q})=0\Rightarrow a_n(\frac{p}{q})^n+a_{n-1}(\frac{p}{q})^{n...
por agleidhold
Jue 13 Feb, 2025 2:19 pm
Foro: Problemas
Tema: OFO 2025 Problema 1
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Re: OFO 2025 Problema 1

Spoiler: mostrar
Notamos que cada triángulo tiene la misma altura que el rectángulo con el que comparte base y ya se resuelve el problema
por agleidhold
Mar 11 Feb, 2025 8:33 pm
Foro: Problemas
Tema: OFO 2025 Problema 2
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Re: OFO 2025 Problema 2

Vemos que la suma de todas las paginas tiene que ser más que $2025$, por lo que, siendo $m$ la cantidad de páginas $$\frac{m(m+1)}{2}=2025\Rightarrow m^2+m+\frac{1}{4}=4050+\frac{1}{4}\Rightarrow (m+\frac{1}{2})^2=\frac{16201}{4}\Rightarrow m\approx 63.14$$ Por lo que $m$ es al menos $64$. También ...
por agleidhold
Lun 10 Feb, 2025 10:57 pm
Foro: Problemas
Tema: OFO 2025 Problema 4
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Re: OFO 2025 Problema 4

Notamos que como Florencia y Patricia siempre se quieren sentar una al lado de la otra, podemos analizarlas como si fueran una única persona que ocupa dos asientos a la cual llamaremos Floricia. Para analizar todos los casos vamos a ir moviendo a Floricia por los asientos de forma tal que ocupe tod...
por agleidhold
Lun 10 Feb, 2025 9:07 am
Foro: Problemas
Tema: OFO 2025 Problema 5
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Re: OFO 2025 Problema 5

Ubicamos al triángulo en un sistema de coordenadas cartesianas https://i.postimg.cc/1zkjJsR5/ggofop5.jpg Llamemos $CX=CY=a$ y $AC=BC=h$. Sean $f$ la función lineal que pasa por $A$ e $Y$, $g$ la función lineal que pasa por los puntos $C$ y $M$, $r$ la función lineal que pasa por $X$ y $N$, y $p$ la...