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Solução : Primeiro que tudo, temos que $36=6^2=(2\ast3)^2$. Então este número precisa ser múltiplo de $2^2=4$ e de $3^2=9$ simultaneamente. É trivial que pelos critérios de divisibilidade, esses tais números $\overline{abcd}$ onde $cd=36$ ($c=3$, $d=6$) já são divisíveis por $4$, com o que nos rest...

Quinze de Julho de 2025 Soluções para a LXVI° Olímpiada Internacional de Matemática (IMO) Primeiro Dia - Problema 2 de 3 Solução : Aqui, $(ABC)$ denota a circunferência circunscrita ao triângulo $ABC$. Separei a solução em vários "claims" (lemas) para tornar a compreensão mais fácil. Prim...

Solução : Seja $K=OD\cap BI$. Sabemos que se $AC=BC$, $\triangle ABC$ é isósceles em $C$. Logo $\angle A=\angle B=\frac{180^\circ-\angle C}{2}$, and $\angle C=180^\circ-2\angle B$. O incentro de um triângulo é o ponto de encontro de suas bissetrizes internas. Deste modo, por ser $OD\perp BI$, $\ang...

Solução : $\large{\color{magenta}{\blacktriangleright}}$ Se $BM=BN$, então $\triangle BMN$ é isósceles, de onde $\angle BMN=\angle BNM=\alpha$. Sabemos por soma de ângulos internos de triângulos que $\angle MBN=180^\circ-2\alpha$. E por suplementares, $\angle ANB=\angle CMN=180^\circ-\alpha$. Por s...

Solução : $\large{\color{magenta}{\blacktriangleright}}$ Começaremos construindo a figura descrita. Por ser $\angle BAC=90^\circ$ e $\angle ACB=30^\circ$, por soma de ângulos internos $\angle ABC=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ$. Por ser retângulo, o centro do circuncírculo $P$ é o ponto $M_1$...

Solução : No total, existem $300+200=500$ alunos. Como $\dfrac{300}{10}=30$ e $\dfrac{200}{10}\ast4=20\ast4=80$, no total $30+80=110$ alunos receberam prêmios. Agora vamos à alguns cálculos: Sabemos que $1\%$ de $500$ é igual a $\dfrac{500}{100}=5$. E como $\dfrac{110}{5}=22$, a porcentagem total é...

Solução : Observação : Aqui, $(ABC)$ denota a circunferência circunscrita ao triângulo $ABC$. $X=\odot(ABC)$ representa que $X$ é centro de $(ABC)$. $\large{\color{magenta}{\blacktriangleright}}$ Primeiro que tudo, para resolver o Problema 1 - IMO/2004, temos dois casos: $\mathbf{(a)}$ $R$ é o únic...

Solução : $\large{\color{magenta}{\blacktriangleright}}$ Desenhando a figura assim como dito no enunciado, temos o seguinte. https://i.imgur.com/WydfXJ9.png Lema 1 : $\triangle ABC\sim\triangle CXY$. Demo. 1 : Por definição, dois triângulos semelhantes possuem todos os seus ângulos iguais. É fácil ...

Solução : $\large{\color{magenta}{\blacktriangleright}}$ Temos que, em qualquer triângulo, $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$, e como $\angle A=2\angle C$, $2\angle B=\angle A+\angle C$, então $180^\circ=\dfrac{\angle A+\angle C}{2}+3\angle C=3\angle C+\dfrac{3\angle C}{2}=4.5\angle C\implies\a...

En el pizarrón está escrita la siguiente expresión $$1-2-2^2-2^3-2^4-2^5-2^6-2^7-2^8-2^9-2^{10}.$$Juan intercala paréntesis de distintas maneras y efectúa el cálculo que queda. Por ejemplo así $1-2-\left(2^2-2^3\right)-2^4-\left(2^5-2^6-2^7\right)-2^8-\left( 2^9-2^{10}\right)=403$ o así $1-\left(2-2...