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Aquí se publicará la solución oficial

Se tienen fichas de $1\times 1$ rojas y verdes, y fichas de $1\times 2$ negras. Demostrar que la cantidad de formas de completar un tablero de $1\times 2022$ divide a la cantidad de formas de completar un tablero de $1\times 4045$.

Solución oficial: Llamemos $g(k)$ al mcd de todos los números de la forma $P(n+k)-P(n)$ con $n$ entero. El primer paso es probar que $k$ divide a $g(k)$. Una forma hacerlo es notar que $n+k\equiv n\ (k)$. En consecuencia, $(n+k)^i\equiv n^i\ (k)$ para cualquier entero $i>0$ y $$P(n+k)\equiv\sum\lim...

Sea $P$ un polinomio de coeficientes enteros tal que $P(0)=0$. Supongamos que no existe ningún entero $d>1$ que divida a $P(n)$ para todo entero $n$. Demostrar que existen infinitos enteros positivos $k$ tales que el máximo común divisor de todos los números de la forma $P(n+k)-P(n)$, con $n$ entero...

Reescribimos la ecuación como $p^3(p^2+1)=(q-2)(q+1)$, como todo lo multiplicado es positivo (ya que es claro que $q>p>3$), tiene que pasar que $p^3 < q+1$ y que $q-2 < p^2+1$ ya que de lo contrario es imposible que se de la igualdad. ¿Por qué no puede pasar que $p^3\geq q+1$ y que $q-2 \geq p^2+1$?

Duda Prolongamos <span class="MathJax_Preview" style="color: inherit; display: none;"></span><span class="MathJax" id="MathJax-Element-18-Frame" tabindex="0" data-mathml="<math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;><mi>A<...

Sin cuentas (esencialmente): El problema es equivalente a minimizar $(AP+BP+CP)^2/T^2$ sobre los puntos $A,B,C,P$ en el plano (convencion: $x/0=\infty$). Via una traslacion, podemos fijar $P$. Via una homotecia, podemos fijar $AP+BP+CP\leq 1$. Notemos que tales $A,B,C$ estan dentro del compacto $[0,...

Aquí dejamos el apunte sugerido para la COFFEE "Matías Saucedo". Inducción.pdf Les recomendamos que durante la semana los lean y piensen los problemas para entrar en tema antes de la competencia el próximo fin de semana. Los problemas propuestos en el apunte no serán los que les pediremos ...

Hint(¿?):

Spoiler: mostrar

La segunda condición es equivalente a $AB+CD=AD+BC$.

Problema 98:

Sea $ABC$ un triángulo de perímetro 4, con $AB<AC$. Sobre las semirrectas $AB$ y $AC$ se marcan puntos $X$ e $Y$ respectivamente tales que $AX=AY=1$. Los segmentos $BC$ y $XY$ se intersecan en $M$. Probar que el perímetro de $ABM$ es 2.