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\frac{f(f(z)+1)}{z+1}=\frac{f(2)}{2} Vemos con ordenada \neq 0 \frac{j(f(z)+1)+l}{z+1}=\frac{f(2)}{2} Esta parte la podés hacer más fácil: Acá estarías yendo muy rápido. Esto es como decir: Asumamos que f es lineal, entonces f es lineal. Bueno, en serio: No está bien asumir que una función es linea...

Me sumo! Digo, me inscribo!

Todo esto para evitar decir la palabra seno... Sean O_1 y O_2 los circuncentros de APC y BPD respectivamente. Los triángulos AO_1C y BO_2D son semejantes porque son ambos isósceles y el angulito desigual es el mismo. Entonces \frac{AC}{BD} = \frac{O_1A}{O_2B} . Llamemos R_1 y R_2 a estos radios y h ...

Con respecto a la solución de 3,14: 1) No es completamente cierto que si f(f(x)) = f(x) entonces f(x) sea siempre x ,y esto verdaderamente pasa porque \mathbb{R} es el codominio de la función y no la imagen (lo cual suena bastante confuso). Si eso pasara (bueno, y de hecho pasa, pero es "casual...

Para los que fueron a la APMO 2014, la solución es casi inmediata: Consideremos el número 111 \cdots 11222 \cdots 22 , con x 1's e y 2's . Es claro que S(n) = x+2y y que P(n) = 2^y . Ahora, para cada número entero positivo par y , consideremos x = 2^{\frac{y}{2}} - 2y (traté de escribirlo como si fu...

Sean [math]a_0, a_1, a_2, \cdots y [math]b_0, b_1, b_2, \cdots dos sucesiones infinitas de números reales con [math]a_0 = 1, [math]b_0 = 0 y [math]a_1^2 + b_1^2 = 1, tales que:

i) [math]\frac{a_{n+1} + a_{n-1}}{2} = a_{n-2}a_1
ii) [math]\frac{b_{n+1} + b_{n-1}}{2} = b_{n-2}a_1

Probar que:

La primera parte me gustó, pero el final creo que se puede mejorar... En primer lugar, un rápido manejo de ángulos nos deja que \angle BH_1C = \angle BH_2C = 180 - \alpha , donde \alpha = \angle BAC = \angle BDC . Se sigue que BACH_2 y BDCH_1 son cíclicos. Vamos a definir \beta = \angle ABC , luego,...

Si no me confundo, el lema es más general, y sirve para cualesquiera I, J, K sobre las bisectrices en las que están. Vamos a definir \angle BAD = \alpha y \angle DAC = \beta . Es fácil ver que \angle BAI = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2} ; \angle KAC = \frac{\beta}{2} ; \angle DAJ = ...

Me incribo anónimamente

Problema 61 Dado un trapecio ABCD de lados paralelos AB y CD , se asume que existe un punto E en la recta BC fuera de BC y un punto F sobre el segmento AD tales que \angle DAE = \angle CBF . Denotamos por I al punto de intersección de CD y EF , y por J al punto de intersección de AB y EF . Sea K \n...