Se encontraron 231 coincidencias

por Dauphineg
Jue 17 Dic, 2020 11:21 pm
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

"El problema 179 sigue sin ser resuelto!, por si alguien quiere intentarlo" No obstante propongo uno nuevo :D Problema 183 Sea $ABC$ un triángulo. Sobre la prolongación de $CB$ se considera el punto $D$ tal que $\overline{BD}=\overline{BA}$, y sea $M$ el punto medio de $\overline{AC}$. La bisectriz...
por Dauphineg
Jue 17 Dic, 2020 5:51 pm
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Solución 182 Llamamos $L$ al punto de intersección de la recta $IJ$ con la recta $AC$ y $M$ al punto de intersección de la recta $IK$ con la recta $AC$ Como la recta $KJ$ y la recta $AC$ son perpendiculares a la recta $BC$ entonces los triángulos $KIJ$ y $LIM$ son semejantes. Como la $AI$ es bisect...
por Dauphineg
Jue 17 Dic, 2020 4:56 am
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: Nacional 2020 N3 P5
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Re: Nacional 2020 N3 P5

Agrego un Lema útil para una parte del problema: Sea $X=\left \{ \left. x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}, x_{5},x_{6}\right \} \right.$ un conjunto de $6$ números reales positivos y distintos. Si $x_{1},x_{2},x_{3}$ son los $3$ números menores del conjunto $X$ y $x_{4},x_{5},x_{6}$ son los $3$ números mayore...
por Dauphineg
Mar 15 Dic, 2020 8:34 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Nacional 2020 N3 P4
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Re: Nacional 2020 N3 P4

Primero vamos a ver que debe cumplirse que $b< \frac{3}{2}a$, para esto supongamos por el contrario que $b\geq \frac{3}{2}\Rightarrow $ $b^{4}+3b^{2}+4\geq \frac{81}{16}a^{4}+\frac{27}{4}a^{2}+4> \frac{80}{16}a^{4}+\frac{4}{4}a^{2}=5a^{4}+a^{2}$ y esto es absurdo. Sabemos que el producto de $2$ núm...
por Dauphineg
Mar 15 Dic, 2020 7:36 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Nacional 2020 N3 P4
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Re: Nacional 2020 N3 P4

Dedicada a Fran5 Notemos primero que como la fracción es un número entero, entonces $b^4+3b^2+4\mid 5a^4+a^2$, de modo que si podemos ver que $b^4+3b^2+4$ tiene un divisor que no es primo hicimos un avance gigante. El denominador es $b^2\left (b^2+3\right )+4$, vamos a ver que es múltiplo de $4$, p...
por Dauphineg
Mar 15 Dic, 2020 1:27 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Nacional 2020 N3 P3
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Re: Nacional 2020 N3 P3

La recta $BE$ es tangente a $\odot BPC$ porque $\angle PCB=PBE=30^{\circ}$, análogamente la recta $FC$ es tangente a $\odot BPC$ porque $\angle PBC=PCF=15^{\circ}$. Llamamos $O$ al centro de $\odot BPC$, como $\overline{AB}=\overline{AC}$ y ademas $\angle BAC=90^{\circ}$ tenemos que $ABOC$ es un cu...
por Dauphineg
Lun 14 Dic, 2020 11:25 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Nacional 2020 N3 P1
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Re: Nacional 2020 N3 P1

Spoiler: mostrar
Si existe, por ejemplo $n=999993\underset{165}{\underbrace{99..99}}$ tiene $171$ dígitos, con $n+1=999994\underset{165}{\underbrace{00..00}}$
además $S(n)=1533=219.7$ y $S(n+1)=49=7.7$
por Dauphineg
Vie 27 Nov, 2020 4:22 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: 17° Ronda Final Mateclubes P1N4
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Re: 17° Ronda Final Mateclubes P1N4

Mostramos primero un ejemplo que verifica la hipótesis, en donde el mayor número colocado es $18$ Ponemos en las esquinas los números $3$, $4$ y $7$ respectivamente. Sobre el lado cuyas esquinas son $3$ y $4$ ponemos el conjunto de números siguiente: $\left \{ \left. 5,8,9,14 \right \} \right.$ Sob...
por Dauphineg
Vie 27 Nov, 2020 5:41 am
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Mateclubes 2019 - Nivel 5 - Problema 1
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Re: Mateclubes 2019 - Nivel 5 - Problema 1

Comenzamos denominando a cada número de la figura dada como se muestra a continuación: IMAGEN.png Lo primero que vamos a hacer es probar que los números $R$ y $J$ deben tener igual paridad, para esto veamos que $R=U+V=(X+Y)+(Y+Z)=X+2Y+Z=(A+B)+2(B+C)+(C+D)=(A+D)+3.(B+C)$ Por otro lado sabemos que la...
por Dauphineg
Mié 18 Nov, 2020 12:15 am
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: Ibero 2020 - P5
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Re: Ibero 2020 - P5

$\cdot$ Hacemos $x=0$ e $y=1$ en la ecuación inicial $\Rightarrow f(0)+f(0)=1+f(0)\Rightarrow f(0)=1$ $\cdot$ Hacemos $x=1$ e $y=1$ en la ecuación inicial $\Rightarrow f(f(0))+f(1)=2+f(1)\Rightarrow f(1)=2$ $\cdot$ Hacemos $x=1$ e $y=1-z$ (para todo $z\varepsilon \mathbb{R}$) en la ecuación inicial...