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Para comenzar, notemos que si los numeros pensados son $a$ y $b$ entonces los resultados obtenidos son de la forma $(a+b)^2+a$ o $(a+b)^2+b$. Sin perdida de generalidad, suponemos que los mismos son del primer tipo, debido a q ue por simetria podríamos obtener el segundo tipo. Sea $k = a+b$ y $r = ...

Para comenzar, sea $n = p_1^{\alpha_1} p_2 ^{\alpha_2} \cdots p_k ^ {\alpha_k}$ la descomposición en primos de $n$. Voy a expresar $\sigma (n)$ y $\varphi (n)$ en función de esta descomposición. Notemos que sigma es suma de elementos de la forma $p_1^{\beta_1} p_2 ^{\beta_2} \cdots p_k ^ {\beta_k}$...

Para comenzar escribimos $a = k^3 + r$ , con $0\leq r< (k+1)^3-k^3 = 3k^2+3k+1$ Es claro que $f(a) = k^3$ Si $r = 0$, entonces $a_n = a$, $\forall n \in \mathbb{N_0}$ , ya que $a_0 = a$. Supongamos que para $k \in \mathbb{N_0}$, se cumple que $a_k = a$, entonces $a_{k+1} = 3a_k - 2f(a_k) = 3(k^3)-2...

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Muy Bueno!

Llamando [math]R' a la intersección de [math]BP y el circuncirculo y demostrar que [math]R',[math]A y [math]Q son colineales es cuestión de angulos

Tambien se puede hacer lo mismo llamando [math]R' a la intersección de [math]AQ con el circuncirculo y probando que [math]B, [math]P y [math]R' son colineales.

muy buena la solución !