Se encontraron 993 coincidencias

por Gianni De Rico
Sab 06 Jul, 2019 4:50 pm
Foro: Geometría
Tema: Torneo de las Ciudades - Marzo 2016 - NM P2
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Torneo de las Ciudades - Marzo 2016 - NM P2

Dividir un cuadrado de lado $10$ en $100$ cuadriláteros congruentes de modo que cada uno esté inscrito en una circunferencia de diámetro $\sqrt{3}$.
por Gianni De Rico
Sab 06 Jul, 2019 4:43 pm
Foro: Problemas
Tema: Torneo de las Ciudades - Marzo 2016 - NM P1
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Torneo de las Ciudades - Marzo 2016 - NM P1

Todos los enteros desde $1$ a $1000000$ se escriben en una cinta en orden arbitrario. Luego, la cinta se corta en partes de forma que cada parte contiene dos dígitos consecutivos. Demostrar que las partes contienen todos los enteros de dos dígitos, sin importar el orden inicial de los números.
por Gianni De Rico
Sab 06 Jul, 2019 4:38 pm
Foro: Problemas
Tema: Torneo de las Ciudades - Octubre 2015 - NM P7
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Torneo de las Ciudades - Octubre 2015 - NM P7

Hay $N$ niños de alturas distintas parados en una línea recta. Se aplica el siguiente procedimiento: primero, la línea se separa en la menor cantidad de grupos posibles de forma que en cada grupo los niños estén ordenados de menor a mayor de izquierda a derecha (un grupo puede ser de un sólo niño). ...
por Gianni De Rico
Sab 06 Jul, 2019 4:32 pm
Foro: Problemas
Tema: Torneo de las Ciudades - Octubre 2015 - NM P6
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Torneo de las Ciudades - Octubre 2015 - NM P6

Beto tiene un melón esférico de diámetro $20$ al que le hace tres cortes perpendiculares, cada uno de profundidad $h$.
Decidir si es cierto que el melón se rompe en dos o más partes si
a) $h=17$.
b) $h=18$.
por Gianni De Rico
Sab 06 Jul, 2019 4:24 pm
Foro: Algebra
Tema: Torneo de las Ciudades - Octubre 2015 - NM P4
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Torneo de las Ciudades - Octubre 2015 - NM P4

Se tienen varios números reales distintos escritos en un pizarrón. Pedro quiere escribir una expresión algebraica tal que tome exactamente los valores escritos en el pizarrón. Puede usar cualquier número real, paréntesis, los signos $+$, $-$, $\times$ y un signo especial, $\pm$. Usar $\pm$ es equiva...
por Gianni De Rico
Sab 06 Jul, 2019 4:06 pm
Foro: Geometría
Tema: Torneo de las Ciudades - Octubre 2015 - NM P3
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Torneo de las Ciudades - Octubre 2015 - NM P3

Sen $ABCD$ un cuadrilátero cíclico, $K$ y $N$ los puntos medios de sus diagonales, $P$ el punto de intersección de las prolongaciones de los lados $AB$ y $CD$, y $Q$ el punto de intersección de las prolongaciones de los lados $AD$ y $BC$.
Demostrar que $\angle PKQ+\angle PNQ=180°$.
por Gianni De Rico
Sab 06 Jul, 2019 4:02 pm
Foro: Algebra
Tema: Torneo de las Ciudades - Octubre 2015 - NM P3
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Torneo de las Ciudades - Octubre 2015 - NM P3

Sea $P$ un polinomio tal que cada coeficiente de $P$ es un entero con valor absoluto menor o igual a $2015$.
Demostrar que las raíces positivas de $P$ son mayores a $\frac{1}{2016}$.
por Gianni De Rico
Sab 06 Jul, 2019 3:58 pm
Foro: Geometría
Tema: Torneo de las Ciudades - Octubre 2015 - NM P2
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Torneo de las Ciudades - Octubre 2015 - NM P2

Un tablero cudriculado de $10\times 10$ se divide en $20$ polígonos de igual área mediante $80$ de los lados de los cuadraditos, de forma que ninguno de los lados está sobre el borde del tablero.
Demostrar que todos los polígonos son congruentes.
por Gianni De Rico
Sab 06 Jul, 2019 3:55 pm
Foro: Algebra
Tema: Torneo de las Ciudades - Octubre 2015 - NM P1
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Torneo de las Ciudades - Octubre 2015 - NM P1

Una progresión geométrica está formada por $37$ enteros positivos. El primer y el último término son coprimos. Demostrar que el término en la posición $19$ es de la forma $a^{18}$ para algún entero positivo $a$.
por Gianni De Rico
Sab 06 Jul, 2019 2:35 pm
Foro: Problemas Archivados
Tema: XXXVI Torneo de las Ciudades Otoño 2014 NM P4
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Re: XXXVI Torneo de las Ciudades Otoño 2014 NM P4

Solución: Sean $\omega =\odot A'B'C'$, $\Gamma _A=\odot A_BA_CB'GC'$, $\Gamma _B=\odot B_AB_CC'GA'$, $\Gamma _C=\odot C_AC_BA'GB'$. Notemos que por ser tangentes a $\omega$ tenemos $CA'=CB'$, $AB'=AC'$ y $BC'=BA'$. Luego, $CA'\cdot CC_B=\text{Pot}(C,\Gamma _C)=CB'\cdot CC_A\Rightarrow CC_B=CC_A$, y...