Se encontraron 1060 coincidencias

por Gianni De Rico
Lun 16 Sep, 2019 8:06 pm
Foro: Geometría
Tema: Ibero 2019 - P3
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Re: Ibero 2019 - P3

Solución: (Queda como ejercicio para el lector escribirla con ángulos dirigidos) Ibero 2019 P3 - Figura de análisis.png Sean $\angle CAB=\alpha$, $\angle ABC=\beta$, $\angle BCA=\gamma$. Como $BD\parallel AC$ y $CE\parallel AB$, tenemos que $AD=AB=AE$, $AC=BE$ y $AB=CD$. Luego, $\angle ABQ=\angle A...
por Gianni De Rico
Lun 16 Sep, 2019 8:01 pm
Foro: Algebra
Tema: Ibero 2019 - P2
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Re: Ibero 2019 - P2

Solución: Sea $P$ una solución al problema. Notemos que como $P\in \mathbb{Z}[x]$ entonces si $x\in \mathbb{Z}$, tenemos que $P(x)\in \mathbb{Z}$, en particular $P(1),P(2),\ldots ,P(n-1)\in \mathbb{Z}$. Además, $P(0),P(1),P(2),\ldots ,P(n-1)$ son las $n$ raíces de $P$. Supongamos que $n\geqslant 4$...
por Gianni De Rico
Lun 16 Sep, 2019 7:57 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Ibero 2019 - P1
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Re: Ibero 2019 - P1

Solución: Sea $n$ una solución al problema. Supongamos que $n\geqslant 100$, luego, tenemos que $n=\overline{x_kx_{k-1}\ldots x_3abc}$ con al menos uno de $x_k,x_{k-1},\ldots ,x_3,a$ distinto de $0$. Entonces $$a^2+b^2+c^2+\sum \limits _{j=3}^kx^2_j=s(n)=n=\overline{x_kx_{k-1}\ldots x_3abc}=100a+10...
por Gianni De Rico
Lun 16 Sep, 2019 4:04 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Ibero 2019 - P6
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Ibero 2019 - P6

Sean $a_1,a_2,\ldots ,a_{2019}$ enteros positivos y $P$ un polinomio con coeficientes enteros tal que, para todo entero positivo $n$,

$P(n)$ divide a $a^n_1+a^n_2+\cdots +a^n_{2019}$.

Demuestra que $P$ es un polinomio constante.
por Gianni De Rico
Lun 16 Sep, 2019 4:01 pm
Foro: Combinatoria
Tema: Ibero 2019 - P5
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Ibero 2019 - P5

Don Miguel coloca una ficha en alguno de los $(n+1)^2$ vértices determinados por un tablero de $n\times n$. Una jugada consiste en mover la ficha desde el vértice en que se encuentra a un vértice adyacente en alguna de las ocho posibles direcciones: $\uparrow ,\downarrow ,\rightarrow ,\leftarrow ,\n...
por Gianni De Rico
Lun 16 Sep, 2019 3:55 pm
Foro: Geometría
Tema: Ibero 2019 - P4
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Ibero 2019 - P4

Sea $ABCD$ un trapecio con $AB\parallel CD$ e inscrito en la circunferencia $\Gamma$. Sean $P$ y $Q$ dos puntos en el segmento $AB$ ($A,P,Q,B$ están en ese orden y son distintos) tales que $AP=QB$. Sean $E$ y $F$ los segundos puntos de intersección de las rectas $CP$ y $CQ$ con $\Gamma$, respectivam...
por Gianni De Rico
Lun 16 Sep, 2019 9:14 am
Foro: Algebra
Tema: Ibero 2019 - P2
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Re: Ibero 2019 - P2

Breve comentario técnico a la solución de arriba.
El polinomio nulo $P(x)=0$ no tiene grado, por lo que no cumple con los requisitos del problema.
por Gianni De Rico
Dom 15 Sep, 2019 6:33 pm
Foro: Geometría
Tema: Ibero 2019 - P3
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Ibero 2019 - P3

Sea $\Gamma$ el circuncírculo del triángulo $ABC$. La paralela a $AC$ que pasa por $B$ corta a $\Gamma$ en $D$ ($D\neq B$) y la paralela a $AB$ que pasa por $C$ corta a $\Gamma$ en $E$ ($E\neq C$). Las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $P$, y las rectas $AC$ y $BE$ se cortan en $Q$. Sea $M$ el punto m...
por Gianni De Rico
Dom 15 Sep, 2019 6:28 pm
Foro: Algebra
Tema: Ibero 2019 - P2
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Ibero 2019 - P2

Determina todos los polinomios $P(x)$ de grado $n\geqslant 1$ con coeficientes enteros tales que para todo número real $x$ se cumple $$P(x)=(x-P(0))(x-P(1))(x-P(2))\cdots (x-P(n-1))$$
por Gianni De Rico
Dom 15 Sep, 2019 6:25 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Ibero 2019 - P1
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Ibero 2019 - P1

Para cada entero positivo $n$, sea $s(n)$ la suma de los cuadrados de los dígitos de $n$. Por ejemplo, $s(15)=1^2+5^2=26$.
Determina todos los enteros $n\geqslant 1$ tales que $s(n)=n$.