Se encontraron 1064 coincidencias

por Gianni De Rico
Sab 07 Sep, 2019 7:23 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: IGO 2018 - P2 Nivel Avanzado
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Re: IGO 2018 - P2 Nivel Avanzado

Solución: Sea $E$ el pie de la altura desde $C$, luego, $\angle ACE=\angle CAE=45°$, por lo que $E$ está en la mediatriz de $AC$. Análogamente, $D$ está sobre la mediatriz de $AB$. Como $AD\perp HD$, tenemos que $AEHDX$ es cíclico, luego, $AH$ es diámetro de $\odot ADE$, por lo que $\angle HAX=\ang...
por Gianni De Rico
Sab 07 Sep, 2019 6:34 pm
Foro: Problemas Archivados de Nivel 4
Tema: Número de Oro 2019 - P10
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Re: Número de Oro 2019 - P10

Solución: Sea $ABCD$ un triángulo de lados $AB=1$ y $AD=\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, y sea $AB'C'D'$ el rectángulo que se obtiene al aplicarle una homotecia de centro $A$ y razón $\frac{\sqrt{11\varphi +7}}{\sqrt{\varphi +2}}$ al rectángulo $ABCD$. Afirmo que el rectángulo $AB'C'D'$ verifica las...
por Gianni De Rico
Sab 07 Sep, 2019 6:32 pm
Foro: Problemas Archivados de Nivel 4
Tema: Número de Oro 2019 - P9
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Re: Número de Oro 2019 - P9

Solución: Veamos por inducción en $n$ que si $n\geqslant 2$ entonces se verifica la igualdad del enunciado. El caso base $n=2$ es cierto pues $$\sum \limits _{k=1}^{n-1}(k+2)F_k=\sum \limits _{k=1}^{2-1}(k+2)F_k=\sum \limits _{k=1}^1(k+2)F_k=(1+2)F_1=3F_1=3=4-1=2\cdot 2-1=2\cdot F_3-F_2=n\cdot F_{n...
por Gianni De Rico
Sab 07 Sep, 2019 6:26 pm
Foro: Problemas Archivados de Nivel 4
Tema: Número de Oro 2019 - P6
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Re: Número de Oro 2019 - P6

Solución: Afirmo que $P=\frac{1}{5}$. Notemos que a priori hay dos posibles interpretaciones del problema. Dos bolitas son la misma si y sólo si están numeradas con el mismo subconjunto de $S$ (es decir, las bolitas $1234$ y $4321$ son la misma), o bien dos bolitas son la misma si y sólo si están n...
por Gianni De Rico
Sab 07 Sep, 2019 6:23 pm
Foro: Problemas Archivados de Nivel 4
Tema: Número de Oro 2019 - P5
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Re: Número de Oro 2019 - P5

Solución: Afirmo que $8^{22}+9^{40}$ es compuesto, más aún, cualquier número de la forma $$(5a+3)^{4b+2}+c^{4d}$$ con $a,b,c,d\in \mathbb{N}$, es divisible por $5$. En efecto, por Fermatito tenemos $a^4\equiv 1\pmod 5$, luego $$(5a+3)^{4b+2}+c^{4d}\equiv \left (3^4\right )^b\cdot 3^2+\left (c^4\rig...
por Gianni De Rico
Sab 07 Sep, 2019 6:21 pm
Foro: Problemas Archivados de Nivel 4
Tema: Número de Oro 2019 - P2
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Re: Número de Oro 2019 - P2

Solución: Afirmo que los $n$ que verifican la ecuación modular son exactamente los que verifican $$n\equiv 3\pmod 5$$ Veamos que si $n'\equiv n\pmod 5$, entonces $\sum \limits _{k=1}^{2n'}(-1)^kk^3\equiv \sum \limits _{k=1}^{2n}(-1)^kk^3\pmod 5$ $(1)$ Para ver esto, basta ver que $\sum \limits _{k=...
por Gianni De Rico
Sab 07 Sep, 2019 6:18 pm
Foro: Problemas Archivados de Nivel 4
Tema: Número de Oro 2019 - P1
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Re: Número de Oro 2019 - P1

Solución: Afirmo que la única solución es la terna $(3,5,7)$. Claramente es solución, veamos que es la única. En efecto, sea $(x,y,z)$ una terna que cumple con las hipótesis del enunciado, luego, $y=x+2$, $z=x+4$. Sea $\mathbb{P}:=\{x\in \mathbb{N}:x\text{ es primo}\}$, luego, $x,x+2,x+4\in \mathbb...
por Gianni De Rico
Sab 07 Sep, 2019 6:15 pm
Foro: Problemas Archivados de Nivel 4
Tema: Número de Oro 2019 - P10
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Número de Oro 2019 - P10

Pruebe que existe un rectángulo áureo cuyas diagonales tienen longitud $\sqrt{11\varphi +7}$, siendo $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ el Número de Oro. Aclaración: Se llama rectángulo áureo a un rectángulo cuyos lados, de longitudes $a,b$, con $a>b$, verifican $\frac{a}{b}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varph...
por Gianni De Rico
Sab 07 Sep, 2019 6:12 pm
Foro: Problemas Archivados de Nivel 4
Tema: Número de Oro 2019 - P9
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Número de Oro 2019 - P9

Sea la sucesión de Fibonacci definida por
$F_1=F_2=1$ y $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$, para $n\geqslant 1$
Pruebe que para cada natural $n\geqslant 2$ se verifica la igualdad $$\sum \limits _{k=1}^{n-1}(k+2)F_k=nF_{n+1}-F_n$$.