Se encontraron 116 coincidencias

por AgusBarreto
Dom 20 Ene, 2019 12:11 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: OFO 2019 Problema 5
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OFO 2019 Problema 5

Para cada entero positivo $n$, sea $f(n)$ el mayor cubo perfecto menor o igual a $n$. Por ejemplo, $f(10)=8$ y $f(1)=1$. Sea $a$ un entero positivo. Definimos la sucesión $a_0,a_1, \ldots$ por $a_0=a$ y $a_{n+1}=3a_n-2f(a_n)$. Hallar todos los valores de $a$ para los que esta sucesión está acotada. ...
por AgusBarreto
Jue 27 Dic, 2018 5:34 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: IMO SL 1998 N5 - Muy Lindo
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Re: IMO SL 1998 N5 - Muy Lindo

El inicio es el mismo: Vamos a recordar un lema : Si $p$ es un primo de la forma $4k+3$ y $p \mid a^2 + b^2$ entonces $p\mid a$ y $p \mid b$. Si $n=1$ no hay nada que demostrar. Si $n\geq 2$ entonces $2^n -1 \equiv 3 \pmod{4}$ entonces, tiene algún divisor primo de la forma $4k+3$. Sea $p$ un primo ...
por AgusBarreto
Jue 27 Dic, 2018 5:18 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Primos 4k+1 y residuos cuadráticos
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Primos 4k+1 y residuos cuadráticos

En todo el post $p$ representa un número primo impar. Decimos que un entero $a$ es residuo cuadrático módulo $p$ si existe un entero $x$ tal que $x^2 \equiv a \pmod p$. Vamos a enunciar y demostrar tres lemas: Lema 1: $-1$ es residuo cuadrático módulo $p$ si y sólo si $p \equiv 1 \pmod 4$ Si $p \equ...
por AgusBarreto
Lun 15 Oct, 2018 5:26 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: FOFO 8 años Problema 5
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Re: FOFO 8 años Problema 5

Aquí publicaremos la solución oficial.
por AgusBarreto
Vie 12 Oct, 2018 7:16 am
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: FOFO 8 años Problema 5
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FOFO 8 años Problema 5

Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los números enteros. Hallar todas las funciones $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tales que para todos $x, y$ enteros se verifica
$$f(x-y+f(y))= f(x)+f(y).$$
por AgusBarreto
Sab 25 Ago, 2018 4:56 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Problema 1 Cono Sur 2018
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Re: Problema 1 Cono Sur 2018

Otra: Sea $X$ el punto medio de $AR$ y $N$ el punto medio de $CS$. Llamamos $M\widehat{P}C=\alpha$ Trazamos $XP$ y $XM$ que son respectivamente bases medias de los triángulos $ARD$ y $ARC$, y por lo tanto $XP=XM=\frac{AD}{2}$. Como $DC||XM$ tenemos $M\widehat{P}C=P\widehat{M}X=\alpha$ y a su vez $X\...
por AgusBarreto
Dom 04 Feb, 2018 11:02 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: OFO 2018 Problema 6
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Re: OFO 2018 Problema 6

Aquí vamos a publicar la solución oficial.
por AgusBarreto
Dom 04 Feb, 2018 10:59 am
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: OFO 2018 Problema 10
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Re: OFO 2018 Problema 10

Aquí vamos a publicar la solución oficial.
por AgusBarreto
Vie 26 Ene, 2018 11:58 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: OFO 2018 Problema 6
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OFO 2018 Problema 6

Para cada entero positivo $n>1$ denotamos $p(n)$ al menor número primo que divide a $n$. Por ejemplo, $p(2018)=2$ y $p(35)=5$.
Determinar todas las parejas de enteros $(a,b)$, ambos mayores que $1$, que satisfacen la ecuación $$ a^2 + b = p(a) + p(b)^2. $$
por AgusBarreto
Vie 26 Ene, 2018 11:54 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: OFO 2018 Problema 10
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OFO 2018 Problema 10

Sea $f : \mathbb N \to \mathbb R_{>0}$ una función que satisface las siguientes dos condiciones: $f(mn)=f(m)f(n)$ para cualesquiera $m,n \in \mathbb N$ coprimos (es decir, que su máximo común divisor sea igual a 1); $f$ es creciente, es decir, $f(n+1) \geq f(n)$ para todo $n \in \mathbb N$. Probar q...