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El único más hacible de los IGO5s Solución: Sea $P$ el punto donde $AB$ y $CD$ se cortan (puede ser punto infinito), sean $I_a$, $I_b$, $I_c$, $I_d$ los incentros de los triángulos más cercanos al vértice respectivo. Claramente $I_a, G, I_d$ y $I_b, H, I_c$ son colineales por estar en bisectrices de...

Super corta: SelIbero2019P3.png Sea $P$ el punto donde $CB$ y $EA$ se cortan, sea $G$ el punto donde donde $DB$ vuelve a cortar al circuncírculo de $CDEP$, sea $K$ el punto donde $EG$ corta a $CP$. Como $CDEP$ es armónico, tomando perspectiva desde $G$ obtenemos que $P$, $K$, $B$, $C$ forman cuater...

Solución: Sea $f(n)$ el promedio de $L(C)$ sobre las $2^n$ posibles configuraciones iniciales de $C$, notemos que $f(1)=\frac{1}{2}$. Notar que si $f(k)$ está definido, entonces la parte (a) del problema se cumple para $n=k$, ya que tenemos acotado $L(C)$ para todo $C$ con $k$ monedas. Lema Si $f(n...

Adefesio Solución: Sea $v_p(n)$ el exponente del primo $p$ en la factorización de $n$, sabemos que $v_3(k!)=v_3(\prod_{i=0}^{n-1} (2^n - 2^i))$. Claramente, $v_3(2^n-2^i) =v_3(2^i) + v_3(2^{n-i}-1)=v_3(2^{n-i}-1)$. Ahora, viendo la expresión módulo $3$ tenemos que esto es $0$ sí y sólo sí $n-i$ es i...

Se tiene una urna con $2019$ bolitas rojas. Se van sacando bolitas de la urna. Cuando se saca una bolita roja, se agregan tantas bolitas azules como bolitas quedan en la urna. Cuando se saca una bolita azul, se continua sacando. ¿Cuál es la probabilidad de que la última bolita que se saque sea azul?

Los segmentos $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ son tangentes a una esfera $E$. Probar que los cuatro puntos de tangencia son coplanares.

Decidir si existe $X\subseteq\mathbb{N}$ infinito tal que no hay dos polinomios mónicos con raíces todas distintas y en $X$ que tengan un coeficiente (distinto del principal) en común. Es decir, si $s_1, \ldots, s_k, t_1, \ldots, t_l$ están en $X$ y $(x-s_1)(x-s_2) \ldots (x-s_k)$ y $(x-t_1)(x-t_2) ...

Calcular$$\lim \limits _{n\to \infty}\sum \limits _{k=1}^n\left (\sqrt[3]{1+\frac{k^2}{n^3}}-1\right ).$$

Sea $\lambda$ un real y $\left \{a_1,a_2,a_3,\ldots \right \}$ una sucesión convergente de números reales tales que:$$\begin{align*} \lambda a_1 & =a_2, \\ \lambda a_2 & =a_1 + a_3, \\ & \cdots \\ \lambda a_i & =a_{i-1}+a_{i+1}\;\;\;\text{para}\;\;\;i>1 \end{align*}$$Probar que $a_i=...

Sen $m$, $n$ enteros positivos. Demuestre que $m!^nn!$ divide a $(mn)!$