OMA Foros

Gianni De Rico escribió: ↑

Vie 22 Feb, 2019 6:08 pm

jujumas escribió: ↑

Vie 22 Feb, 2019 4:48 pm

$YA=YB$

No debería ser $YA=YC$?

Arrreglado

Problema 102: Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $D$ el punto donde la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ corta al circuncírculo de $ABC$, y sean $E$ y $F$ los puntos medios de $AC$ y $AB$ respectívamente. Supongamos que existe un punto $X$ interior a $ABC$ tal que $XA=XB$ y $AEXD$ es cíclico, y...

Problema 101: Sea $ABC$ un triángulo con $\angle ABC > \angle ACB$. Dos puntos distintos $X$ e $Y$ en la recta $AC$ cumplen que $\angle XBA = \angle YBA = \angle ACB$ y que $A$ se encuentra entre $X$ y $C$. Supongamos que existe un punto $D$ interior al segmento $BY$ tal que $BX=DX$. La recta $AD$ ...

Solución 100: Sean $K_1$ y $M_1$ los inversos de $K$ y $M$ respectívamente respecto a la circunferencia de diametro $AB$, notemos que $K_1$ es la intersección de las rectas $AC$ y $BD$ y $M_1$ es la intersección de $AB$ y la circunscrita de $COD$. Notemos ahora que $C$ y $D$ son pies de las alturas...

Vamos a generalizar primero: supongamos que los dos números que piensa son $a$ y $b$, siendo $a$ el que suma al final, y $k$ el número que dice en voz alta el voluntario, queda: $(a+b)^2+a=k$ Expandiendo, $a^2+2ab+b^2+a=k$ Estableciendo la cuadrática en función de $a$: $a^2+2ab+b^2+a=k$ $a^2+a \tim...

Solución oficial: Vamos a abstenernos de dibujar todo de una. Vamos a empezar dibujando el triángulo $ABC$ y su circunscrita, marcando el ortocentro $H$ y el circuncentro $O$. Vamos a marcar los circuncentros de los triángulos $AOH$, $BOH$ y $COH$, llamándoles $O_A$, $O_B$ y $O_C$ respectívamente. ...

Primero que nada, un par de comentarios respecto al problema y a su solución (no abran si quieren seguir pensando el problema sin ver nada de la solución): La gran mayoría de las soluciones se basan en dos grandes pasos. Primero, en mostrar que $FD=DB$ o $FE=EC$, y segundo en terminar el problema. E...

malen.arias escribió: ↑

Mar 22 Ene, 2019 11:57 pm

En el problema 8, cuando dice $AB$, es la recta o el segmento?

En el problema 8 está permitido asumir que tanto $D$ como $E$ pertenecen al interior de los segmentos $AB$ y $AC$ respectívamente.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $O$ su circuncentro. Una circunferencia $\omega$ por $A$ y $O$ vuelve a cortar a $AB$ en $D$, a $AC$ en $E$ y al circuncírculo de $ABC$ en $F$. Demostrar que el simétrico de $F$ respecto de $DE$ pertenece a la recta $BC$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno y sea $\ell$ la recta que pasa por su ortocentro y su circuncentro. Los pies de las perpendiculares a $\ell$ por $B$ y $C$ son $B_1$ y $C_1$ respectivamente. Las semirrectas $AB_1$ y $AC_1$ cortan a la recta simétrica a $\ell$ respecto de $BC$ en $B_2$ y $C...