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Dado un entero positivo $m$ denotamos por $S(m)$ y $P(m)$ a la suma y el producto, respectivamente, de los dígitos de $m$. Probar que para cada entero positivo $n$ existen enteros positivos $a_1,\ldots ,a_n$ que satisfacen las siguientes condiciones:$$S(a_1)<S(a_2)<\ldots <S(a_n)\quad \text{y}\quad ...

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[math]2003 es primo

Sí, entendiste bien. Fijate que [math]\sum_{j\in J}kj = k \sum_{j\in J} j porque la [math]k está fija y sale como factor común.
Ahora, [math]\sum_{k\in K} \sum_{j\in J} kj = \sum_{k\in K} \left( k \sum_{j\in J} j\right). Ahora, la suma esa sobre [math]j está fija y sale toda como factor común, y queda lo que querés

En mi opinión, las soluciones técnicas y ver el encanto del problema no necesariamente son dos cosas disjuntas, ni alcanza una sin tener la otra.

Es apenitas no elemental: (Cualquier demostración elemental siempre es bienvenida) Podemos probar un resultado un poco más general: no existen racionales a,b,c ( a,b>0 , c\neq 0 ) y enteros m,n>1 tales que \sqrt[m]{a}-\sqrt[n]{b} = c , tal que ni a ni b son potencias m -ésimas y n -ésimas respectiva...

Sean r_1,r_2,r_3 las raíces reales de esa ecuación. Por las fórmulas de Vieta, tenemos que \begin{align*} r_1+r_2+r_3 &=-\sqrt{3}(a-1) \\ r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1 &= -6a \\ r_1r_2r_3 &= -b\end{align*} Notemos entonces que 3(a-1)^2=(r_1+r_2+r_3)^2 = r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 + 2(r_1r_2+r_2r_3+r_...

Tenemos un collar con n perlas. En cada perla escribimos un número entero, de modo tal que la suma de todos los números escritos sea n-1 . Probar que podemos cortar al collar para formar una tira de perlas consecutivas tal que, si x_1,\ldots , x_n son los números escritos en cada perla de la tira en...

Supongo que termina siendo similar a la solución anterior, pero bueno: Vamos a probar que O es el ortocentro del triángulo \triangle DEI . Para esto, vamos a probar que \angle OEI = \angle DIE = \angle ODI = 45^{\circ} . En efecto, si probamos eso tenemos que al prolongar EO hasta cortar ID es un tr...

Los polinomios son funciones de la forma f(x) = a_nx^n + \ldots + a_1 x + a_0 , con los coeficientes a_k en algún cuerpo , es decir, una estructura como la de los racionales, los reales o los complejos (para no ser muy específicos con esas nociones). Lo que pasa, es que \mathbb{Z}_p (cuando p es pri...