OMA Foros

No me quedó claro, puedo salir de mi casa durante la competencia?

Solución Oficial: Respuesta: Cami no puede encontrar un primo de forma tal que el doble de su primo sea la suma de los primos de Bruno. Vamos a probar de forma más general que si $p$ y $q$ son dos primos consecutivos, entonces $p+q$ no puede ser el doble de un número primo $r$. Observemos que si $p...

Solución oficial: Respuesta: Las únicas soluciones que funcionan son de la forma $\left (x,y,\frac{1}{y},\frac{1}{x}\right )$ con $x>y>1,$ y todas sus permutaciones. En efecto, supongamos sin perdida de generalidad que $a>b>c>d>0$. Notemos que como $abcd=1$ entonces $$a+b+c+d=\frac{bcd+acd+abd+abc}...

Bruno escribe en el pizarrón una lista con todos los números primos entre $1$ y $2020$, ordenados de menor a mayor:$$2,~3,~5,~7,~11,~\ldots,~2011,~2017.$$Luego, Camila elige dos números en posiciones consecutivas de la lista de Bruno y los suma. ¿Es posible que el resultado que obtiene Camila al sum...

Determinar todas las cuaternas $(a,b,c,d)$ de números reales positivos distintos que verifican $abcd=1$ y $a+b+c+d=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ simultáneamente.

Los polinomios $f_1$ y $g_1$ deben tener ambos grado $37$ y coeficiente principal $1$.

Sea $n$ un entero positivo. Determinar el menor valor posible de $n$ tal que para toda elección de $n$ números reales, existan dos de ellos $a$ y $b$ tales que:
$$0 < \frac{a-b}{1+ab} < \sqrt{2}-1.$$

Los números $1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8,~9,~10,~11,~12$ y $13$ se colocan uno en cada circulo de la rueda. En cada cuadradito se escribe el minimo comun multiplo de los números que aparecen en los dos círculos vecinos. Llamemos peso de la rueda al mayor de los números escritos en los cuadraditos. Por ej...

Se tiene un tablero con forma de triángulo equilátero de lado $10$, dividido en casillas con forma de triángulo equilátero de lado $1$. Ana quiere cubrir completamente este tablero usando piezas de los siguientes dos tipos, cada una de las cuales debe cubrir exactamente $4$ casillas del tablero: P6N...

Para anotar la fecha de nacimiento escribimos tres números de esta manera: $DD/MM/AA$, donde $DD$ indica el dia, $MM$ indica el mes y $AA$ indica los dos últimos dígitos del año. Por ejemplo, si la fecha es $3$ de mayo de $1914$ escribimos $03/05/14$, donde $DD = 03,~MM = 05$ y $AA = 14$. Determinar...