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Solución: Tenemos que el número $\overline{abcba}=10000a+1000b+100c+10b+a=10001a+1010b+100c$ tiene que ser divisible por $101$. Claramente $101\mid 1010b$, por lo que necesitamos $101\mid 10001a+100c$. Además tomamos $b=9$ ya que buscamos el mayor valor posible de $\overline{abcba}$. Como $10001\eq...

Consideramos todos los números de $7$ dígitos que se obtienen permutando de todas las maneras posibles los dígitos de $1234567$. ¿Cuántos de ellos son divisibles entre $7$?

En un cuadrilátero $ABCD$ se cumple que $\angle{ABC}=\angle{ADC}=90^{\circ}$ y $\angle{BCD}$ es obtuso. En el interior del cuadrilátero se ubica el punto $P$ tal que $BCDP$ es un paralelogramo. La recta $AP$ corta al lado $BC$ en $M$. Además $BM = 2 ~, MC = 5$ y $CD = 3$ . Determinar la longitud de ...

Varios números reales diferentes están escritos en el pizarrón. Si $a,~ b,~ c$ son tres de estos
números, distintos entre sí, al menos una de las sumas $a+b,~ b+c,~ c+a$ también es uno de los
números del pizarrón. ¿Cuál es la mayor cantidad de números que pueden estar escritos en el pizarrón?

Diremos que dos números enteros positivos $a$ y $b$ forman una pareja adecuada si $a+b$ divide a $ab$ (su suma divide a su multiplicación). Hallar $24$ números enteros positivos que se puedan distribuir en $12$ parejas adecuadas, y de modo que cada número entero figure en una sola pareja y el mayor ...

Sea $n$ un entero par mayor que $2$. Sobre los vértices de un polígono regular de n lados se pueden colocar fichas rojas o azules. Dos jugadores, $A$ y $B$, juegan alternándose turnos del siguiente modo: cada jugador, en su turno, elige dos vértices que no tengan fichas y coloca en uno de ellos una ...

Sea $ABCD$ un rombo de lados $AB=BC=CD=DA=13$. Sobre el lado $AB$ se construye el rombo $BAFE$, exterior al $ABCD$ y tal que el lado $AF$ es paralelo a la diagonal $BD$ del $ABCD$. Si el área del $BAFE$ es igual a $65$, calcular el área del $ABCD$.

¿Es posible pintar $33$ casillas de un tablero de $9\times 9$ de forma que cada fila y cada columna del tablero tenga como máximo $4$ casillas pintadas, pero si además pintamos cualquier otra casilla aparece alguna fila o columna que tiene $5$ casillas pintadas?

A cada número de tres dígitos Matías le sumó el número que se obtiene invirtiendo sus dígitos. Por ejemplo, al número $927$ le sumó el $729$. Calcular en cuántos casos el resultado de la suma de Matías es un número con todos sus dígitos impares.

En un tablero de $4\times 4$ están escritos los números del $1$ al $16$, uno en cada casilla. Andrés y Pablo eligen cuatro números cada uno. Andrés elige el mayor de cada fila y Pablo, el mayor de cada columna. Un mismo número puede ser elegido por ambos. Luego, se eliminan del tablero todos los núm...