Selectivo EGMO, Perú 2020. Problema 5

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Nando

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Selectivo EGMO, Perú 2020. Problema 5

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Sea $AD$ el diámetro de una circunferencia $\omega$ y sea $BC$ una cuerda de $\omega$ que es perpendicular a $AD$. Sean $M$, $N$ y $P$ puntos en los segmentos $AB$, $AC$ y $BC$ respectivamente tales que $MP\parallel AC$ y $NP\parallel AB$. La recta $MN$ corta a la recta $PD$ en el punto $Q$ y a la bisectriz del ángulo $\angle MPN$ en el punto $R$. Pruebe que hay una circunferencia que pasa por los puntos $B$, $Q$, $R$ y $C$.

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Gianni De Rico

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Re: Selectivo EGMO, Perú 2020. Problema 5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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Selectivo EGMO Perú 2020 P5.png
Sean $E=MN\cap BC$, $F$ el simétrico de $P$ por $E$, y $G$ el punto medio de $MN$.
Como $AD$ es diámetro de $\omega$ y $BC\perp AD$, se sigue que $CA=AB$. De $MP\parallel AC$ y $NP\parallel AB$ tenemos que $\angle MPB=\angle ACB=\angle ABC=\angle NPC$, de donde $PR\perp BC$, $BM=MP$ y $PN=NC$. Ahora, aplicando el Teorema de Carnot al triángulo $AMN$ con los puntos $P,C,B$, como$$MP^2-PN^2+NC^2-CA^2+AB^2-BM^2=0$$tenemos que las perpendiculares a $MN$ por $P$, a $NA$ por $C$ y a $AM$ por $B$ concurren, pero al ser $AD$ diámetro de $\omega$, resulta que $DC\perp AN$ y $DB\perp AM$, de modo que $DP\perp MN$, es decir, $PQ\perp MN$.
Notemos ahora que como $EP\perp PR$ y $PQ\perp QR$, entonces $EP$ es tangente a $\odot PQR$, por lo que ${EP}^2=EQ\cdot ER$. Como $AMPN$ es un paralelogramo y $G$ es el punto medio de $MN$, tenemos que $G$ es el punto medio de $AP$, por base media se sigue que $EG\parallel AF$, luego$$\{B,C;P,F\}\underset{A}{=}\{M,N;G,\infty \}=-1$$y como $E$ es el punto medio de $PF$, tenemos que $EC\cdot EB={EP}^2=EQ\cdot ER$ (esto sale haciendo la cuenta o bien notando que el inverso $C'$ de $C$ por la circunferencia de centro $E$ y radio $EP$ también cumple $\{C',C;P,F\}=-1$, es decir que $C'=B$), de modo que $BCRQ$ es cíclico, como queríamos.
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Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

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