USA TSTST 2012, Problema 4

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drynshock

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USA TSTST 2012, Problema 4

Mensaje sin leer por drynshock »

En el triángulo escaleno $ABC$, sean $A_1, B_1, C_1$ los pies de las perpendiculares desde $A$ hacia $BC$, $B$ hacia $CA$, $C$ hacia $AB$, respectivamente. Sea $A_2$ la intersección de las rectas $BC$ y $B_1C_1$. Definimos análogamente $B_2$ y $C_2$. Sean $D, E, F$ los puntos medios de $BC, CA, AB$, respectivamente. Demostrar que las perpendiculares desde $D$ hacia $AA_2$, $E$ hacia $BB_2$ y $F$ hacia $CC_2$ concurren en un punto.
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drynshock

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Re: USA TSTST, Problema 4

Mensaje sin leer por drynshock »

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Vamos a demostrar que concurren en $H$, el ortocentro de $\triangle ABC$. Claramente, los puntos quedan fijos después de elegir $A, B, C$, por lo que basta demostrar que sí $A_2'$ es tal que $H$ es el ortocentro de $AA_2'D$, entonces $A_2C_1B_1$ son colineales.

Considerar $(AGHIB_1), (A_1HID) ,(C_1B_1DA_1)$, las primeras dos circunferencias claramente son ciertas, la última es por nine point circle. Por potencia de un punto

$$A_2'A_1.A_2'D = A_2'H.A_2'I = A_2'G.A_2'A$$

De donde $A_2'$ es el centro radical de las tres circunferencias, se sigue que $A_2C_1B_1$ son colineales.
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Re: USA TSTST 2012, Problema 4

Mensaje sin leer por El gran Filipikachu; »

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Sea $H$ el ortocentro de $ABC$.
Al ser $D$ el centro de $(BC_1B_1C)$, por Brocard en dicho cuadrilátero cíclico tenemos que $D$ es el ortocentro de $AA_2H$. En particular $DH \perp AA_2$, lo que significa que $H$ está en la perpendicular a $AA_2$ por $D$.
Análogamente, $H$ estará en la recta perpendicular a $BB_2$ por $E$ y en la recta perpendicular a $CC_2$ por $F$.

De esta forma, las rectas mencionadas concurren en $H$.
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Gianni De Rico

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Re: USA TSTST 2012, Problema 4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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Si $H$ es el ortocentro de $ABC$ y la semirrecta $\overrightarrow{DH}$ corta a $(ABC)$ en $T$ entonces $ATC_1HB_1$ es cíclico (pues $\angle DTA=90^\circ$ por las Reflexiones del Ortocentro) y por ejes radicales en $(ATC_1HB_1)$, $(ABC)$ y $(BCB_1C_1)$ tenemos que $AT$ pasa por $A_2$. Entonces $DH\perp AA_2$ y por lo tanto $H$ es el ortocentro de $AA_2D$.
Se sigue que todas las perpendiculares del enunciado pasan por $H$.
PD: Fue el Problema 208 de la Maratón de Geo
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♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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