Nacional Brasil 2020 Fase Única - N2 P1

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Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, y $D$ un punto sobre $BC$ tal que $AD$ es perpendicular a $BC$. La bisectriz del ángulo $\angle DAC$ intersecta lo segmento $DC$ en $E$. Sea $F$ lo punto sobre la recta $AE$ tal que $BF$ es perpendicular a $AE$. Se $\angle BAE=45^{\circ}$, calcular la medida del ángulo $\angle BFC$.

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Seja $G$ o ponto de encontro de $BF$ e $AC$ e $K$ o ponto de encontro de $BG$ e $AD$.
Note que $\angle BAE=\angle BAF=45^{\circ}$. Como $AE$ que contém $F$ é perpendicular a $BF$ (e consequentemente a $BG$), obtemos um ângulo reto. Pela SAI de um triângulo, $\angle ABF=180-90-45=180-135=45^{\circ}$.

Note também que $\triangle AKF\equiv\triangle AFG$ pois compartilham $AF$, possuem dois ângulos iguais de $90^{\circ}$ e $AE$ origina da bissetriz de $\angle DAC$ (por enunciado). Então os dois ângulos $\widehat{A}$ são iguais e $\angle AKF=\angle AGF$.

Finalmente, como $\angle AFC=90+\frac{90}{2}=90+45=135^{\circ}$ (pois obtemos um isósceles), então como $\angle BFE=90^{\circ}$, por ângulos suplementares, $\angle BFC=90+45$; $\angle BFC=90+45=135^{\circ}.$ $\bigstar$