1er Selectivo Conosur Uruguay 2025 - P3

[Ostia chavalin]

Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$ y sea $\omega$ su circuncírculo. Sean $M$ el punto medio del lado $BC$ y $N$ el punto medio del arco $BC$ de $\omega$ que contiene a $A$. El circuncírculo del triángulo $AMN$ interseca a los lados $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Probar que $BP=CQ$.

[lendsarctic280]

Corrigir se há algum erro; escrevi isto um pouco rápido

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Figura de análise:

geogebra-export (2).png

Sendo $K$ o circuncentro de $ABC$ e $X$ o circuncentro de $AMN$, vejamos:
Se $\omega$ é o circuncírculo de $ABC$, $N$ é o ponto médio do arco maior $BC$ e $M$ o ponto médio de $ABC$, temos que $M,K$ e $L$ estão alinhados.
Segue que $A,P,M,Q$ e $N$ estão na mesma circunferência. Por $Q$ estar em $AC$, $A\widehat QC$ é um ângulo raso. Pelo mesmo motivo, $\widehat{Q}=180-\widehat{A}$. Deste modo, $APMQ$ é cíclico. Assim, $AM\times PQ=AP\times QM+AQ\times PM$. Finalmente, como $P$ e $Q$ cortam os lados $AB$ e $AC$, está claro que $BP=CQ$ pois $PQ$ é a diagonal do quadrilátero. $\bigstar$

[Gianni De Rico]

Entrenamiento Cono e Ibero 2024 P18

[gerez_robert]

Leí mal el problema, y puse a $N$ como punto medio del arco $\overset{\LARGE\frown}{BC}$ que NO contiene a $A$...pero resulta que con ese cambio el enunciado se sigue cumpliendo, así que dejo la demo de ese casito.

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Sea $R$ el punto de corte de $BC$ con $(AMN)$.
Sea $\angle BAC=2\alpha$

Como $N$ es punto medio de $\overset{\LARGE\frown}{BC}$, tenemos que $AN$ es bisectriz de $\angle BAC$.
$\Rightarrow \angle NAC=\angle NAP=\alpha$ (*)
Además, como $M$ y $N$ estan sobre la mediatriz de $BC$, tenemos, $NM\perp BC$. Por arco capaz en $(AMN)$ se sigue:
$\angle NAR=\angle NMR=90^{\circ}$
$\Rightarrow \angle PAR=90^{\circ}-\alpha\overset{(*)}{=}\angle RAQ$
$\Rightarrow PR=QR$ (**)
Ahora, notar que como $AQRPM$ es cíclico, tenemos las siguientes semejanzas:
$\triangle CQR\sim{\triangle CMA}; \triangle BMA\sim{\triangle BPR}$
Finalmente:
$$\begin{align*}\frac{CQ}{QR}&=\frac{CM}{MA}\\&=\frac{BM}{MA}\\&=\frac{BP}{PR}\\&\overset{(**)}{=}\frac{BP}{QR}\end{align*}$$
$$\Rightarrow CQ=BP$$

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