Pretorneo 2025 NM P3

[Ulis7s]

Consideramos un pentágono $ABCDE$, de lados $AB,BC,CD,DE,EA$, tal que todos sus lados son tangentes a una misma circunferencia interior al pentágono, y el centro de esa circunferencia pertenece a la diagonal $AC$. Demostrar que $AB+BC>CD+DE+EA$.

[marcoalonzo]

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Sean $F$ la intersección de $AE$ y $CD$, $\Omega$ la circunferencia del enunciado e $I$ su centro.
Por las tangencias, tenemos que $\angle BCA=\angle BCI=\angle ICF=\angle ACF$, donde la primera y la última igualdad valen porque $A, I, C$ son colineales. Análogamente se prueba que $\angle BAC=\angle CAF$.
Entonces los triángulos $\triangle ACB$ y $\triangle ACF$ son congruentes, con lo que $AF=AB$ y $CF=BC$.
Finalmente, por la desigualdad triangular en $\triangle EDF$ resulta \begin{align*}
ED<EF+FD\iff ED+AE+DC&<EF+FD+AE+DC\\
&=AF+FC\\
&=AB+BC
\end{align*}
como queríamos

[Emerson Soriano]

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Sea $P$ el punto de intersección de $AE$ y $CD$. Como $AC$ pasa por el centro, entonces por simetría sabemos que $P$ es el simétrico de $B$ respecto al centro de la circunferencia. Por lo tanto, $AP=AB$ y $CP=CB$, luego, usando la desigualdad triangular en el triángulo $PED$ tenemos que
$$EP+PD>DE \quad\Rightarrow\quad (AP-AE)+(CP-CD)>ED \quad\Rightarrow\quad (AB-AE)+(BC-CD)>DE,$$
de donde concluimos que $AB+BC>CD+DE+EA$, tal como queríamos.