Zonal 2025 Nivel 1 Problema 3

[agleidhold]

Sean $ABC$ un triángulo equilátero y $D$ el punto del lado $BC$ tal que $C\widehat AD=21^\circ$. Consideramos el punto $E$ de la recta $AD$ tal que $AB=BE$. Calcular la medida de los ángulos del triángulo $BCE$.

Aclaración: El punto $D$ está ubicado entre $A$ y $E$.

[lendsarctic280]

Solução:

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$\large{\color{blue}{\blacktriangleright}}$ Primeiro que tudo, para resolver o Problema $3$ - Nível $1$ - Etapa Zonal - $2025$, temos que saber como desenhar a figura descrita.

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$$\color{magenta}{\boxed{\bigstar~\text{Desenhando os Pontos}~\bigstar}}$$ $\large{\color{pink}{\blacktriangleright}}$ Começamos com um $\triangle ABC$ equilátero. Desenhamos o ponto $D$ no segmento $BC$ que satisfaça a condição de ângulo e depois a reta $AD$ e o ponto $E$ que satisfaça a igualdade (tal que o ponto $D$ esteja posicionado entre os pontos $A$ e $E$). Marcamos com rosa e traços os segmentos iguais. Isso nos entrega a seguinte figura:

$$\color{magenta}{\boxed{\bigstar~\text{Marcando Ângulos}~\bigstar}}$$Vemos que, por ser equilátero, os ângulos do triângulo medem $60^\circ$ (ou seja, $\angle BAC=\angle ABC=\angle ACB=60^\circ$). Por ser $\angle BAC=\angle BAD+\angle CAD=60^\circ$, e $\angle CAD=21^\circ$, então $\angle BAD=60^\circ-21^\circ=39^\circ$. Por soma de ângulos, $\angle ADB=81^\circ\implies\angle ADC=99^\circ$ por ângulos suplementares. Como $AB=BE$, no $\triangle ABE$ isósceles em $B$, $\angle BAE=\angle BEA=\theta$. Vemos que, por serem $A,D$ e $E$ alinhados, $\theta=\angle BEA=\angle BAD=\angle BAE=39^\circ\implies\angle ABE=180^\circ-2\ast39^\circ=180^\circ-78^\circ=102^\circ$. Com isso, obtemos o nosso primeiro ângulo: como $\angle ABE=102^\circ=\angle ABC+\angle EBC$. Então, temos que como $\angle ABC=60^\circ$, $\angle EBC=102^\circ-60^\circ=42^\circ$. De raciocínio similar, como $\angle CDB=\angle ADB=81^\circ$ por O.P.V, então como $\angle DEC=\angle CAD=21^\circ$ pela colinearidade, $\angle ECD=\angle BCE=180^\circ-21^\circ-81^\circ=180^\circ-102^\circ=78^\circ$. Portanto, como os ângulos de um triângulo somam $180^\circ$, $\angle BEC=180^\circ-42^\circ-78^\circ=180^\circ-120^\circ=60^\circ$ (isso pode ser notado pela semelhança com o $\angle A$). Como determinamos os três ângulos, estamos finalizados!!! $$\Huge{\color{magenta}{\blacksquare}}$$

Comentário:

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A título de curiosidade, $\triangle ABC\sim\triangle BCE$.

Corrigir se há algum erro!

[BR1]

La respuesta correcta es

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$$\angle CBE=42^\circ ,\quad \angle BCE=\angle BEC=69^\circ .$$

[Jano Ochoa Questa]

Solução:

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$\large{\color{blue}{\blacktriangleright}}$ Primeiro que tudo, para resolver o Problema $3$ - Nível $1$ - Etapa Zonal - $2025$, temos que saber como desenhar a figura descrita.

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$$\color{magenta}{\boxed{\bigstar~\text{Desenhando os Pontos}~\bigstar}}$$ $\large{\color{pink}{\blacktriangleright}}$ Começamos com um $\triangle ABC$ equilátero. Desenhamos o ponto $D$ no segmento $BC$ que satisfaça a condição de ângulo e depois a reta $AD$ e o ponto $E$ que satisfaça a igualdade (tal que o ponto $D$ esteja posicionado entre os pontos $A$ e $E$). Marcamos com rosa e traços os segmentos iguais. Isso nos entrega a seguinte figura:

$$\color{magenta}{\boxed{\bigstar~\text{Marcando Ângulos}~\bigstar}}$$Vemos que, por ser equilátero, os ângulos do triângulo medem $60^\circ$ (ou seja, $\angle BAC=\angle ABC=\angle ACB=60^\circ$). Por ser $\angle BAC=\angle BAD+\angle CAD=60^\circ$, e $\angle CAD=21^\circ$, então $\angle BAD=60^\circ-21^\circ=39^\circ$. Por soma de ângulos, $\angle ADB=81^\circ\implies\angle ADC=99^\circ$ por ângulos suplementares. Como $AB=BE$, no $\triangle ABE$ isósceles em $B$, $\angle BAE=\angle BEA=\theta$. Vemos que, por serem $A,D$ e $E$ alinhados, $\theta=\angle BEA=\angle BAD=\angle BAE=39^\circ\implies\angle ABE=180^\circ-2\ast39^\circ=180^\circ-78^\circ=102^\circ$. Com isso, obtemos o nosso primeiro ângulo: como $\angle ABE=102^\circ=\angle ABC+\angle EBC$. Então, temos que como $\angle ABC=60^\circ$, $\angle EBC=102^\circ-60^\circ=42^\circ$. De raciocínio similar, como $\angle CDB=\angle ADB=81^\circ$ por O.P.V, então como $\angle DEC=\angle CAD=21^\circ$ pela colinearidade, $\angle ECD=\angle BCE=180^\circ-21^\circ-81^\circ=180^\circ-102^\circ=78^\circ$. Portanto, como os ângulos de um triângulo somam $180^\circ$, $\angle BEC=180^\circ-42^\circ-78^\circ=180^\circ-120^\circ=60^\circ$ (isso pode ser notado pela semelhança com o $\angle A$). Como determinamos os três ângulos, estamos finalizados!!! $$\Huge{\color{magenta}{\blacksquare}}$$

Comentário:

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A título de curiosidade, $\triangle ABC\sim\triangle BCE$.

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Tradução de acordo com o tradutor*
Observe que, uma vez que descobrimos que o ângulo $\angle BEC$ é $42^{\circ}$ como o triângulo a ser trabalhado é isósceles, podemos obter os outros dois ângulos imediatamente, $\frac{180^{\circ}-42^{\circ}}{2}=69^{\circ}$