Vemos que como [math]EA=CD y [math]\angle{DEA}=\angle{CDE} entonces [math]ACDE es un trapecio isósceles. Por lo tanto [math]AC es paralela a [math]DE y [math]\angle{EAC}=\angle{DCA}=60°. Ahora prolongamos [math]AE y [math]CD y se cortan en un punto que llamamos [math]P. Es claro que cpomo el triángulo [math]APC tiene dos ángulos de [math]60° entonces el tercero también lo es, por lo tanto es equilatero. Ahora bien como [math]AE=ED=CD y [math]ED es paralela a [math]AC entonces [math]ED es base media de nuestro triángulo (abajo presento una manera alternativa de ver esto), y por ende [math]AC=2ED=4. Por lo tanto [math]ABC es equilatero porque tiene los tres lados que miden [math]4. Para evitar cuentas triviales pongo que el área de [math]ABC es [math]4\sqrt{3}. Ahora notamos que en realidad sacar el área de [math]ACDE es lo mismo que triplicar el área de un triángulo equilatero de lado [math]2. Marcamos [math]M el punto medio de [math]AC. [math]AM=MC=2=AE=ED=CD por lo tanto [math]AME, [math]EMD y [math]DMC son equilateros y de lados [math]2. Nuevamente para evitarnos cuentitas triviales llegamos a que el área de cada uno es [math]\sqrt{3}, por lo tanto el área de [math]ACDE es [math]3\sqrt{3}. Sumando ambos obtenemos que el área de [math]ABCDE es [math]7\sqrt{3}.
Manera alternativa de demostrar lo que puse arriba:
Ya sabíamos que [math]ACDE es un trapecio isósceles. Trazamos la perpendicular a [math]AC por [math]E que corta a [math]AC en [math]R y por [math]D que corta a [math]AC en [math]Q. Como [math]\angle{EAR}=60° y [math]\angle{ARE}=90° entonces [math]\angle{AER}=30°. Del mismo modo llegamos a que [math]\angle{CDQ}=30°. Por lo tanto [math]\angle{RED}=\angle{QDE}=90° y [math]RQDE es un rectángulo, por lo tanto [math]RQ=2. Ahora bien, como [math]QCD y [math]ARE son medios equilateros (abajo explico bien que implica esto) entonces su cateto menor mide la mitad de su hipotenusa, por lo tanto como [math]CD=AE=2 entonces [math]AR=QC=1. Sumamos y tenemos [math]AC=AR+RQ+QC=4 como habíamos obtenido de la otra manera.
Explicación de un concepto usado en la solución alternativa:
Tomamos un triángulo equilatero [math]ABC y trazamos una altura, supongamos la correspondiente al vértice [math]A que corta a la base [math]BC en [math]A'. Los triángulos [math]ABA' y [math]ACA' son la mitad de un equilatero, y como podemos observar su hipotenusa vale el doble que el cateto menor, ya que este vale la mitad de un lado. Esta es la idea que usamos en la solución.
Perdón si la complique mucho, tengo sueño pero me copó el problema jaja, si tienen algo mas lindo subanlo
