Un lema muy útil: AH=2OM

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Vladislao

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Un lema muy útil: AH=2OM

Mensaje sin leer por Vladislao » Mié 05 Jun, 2013 7:01 pm

Sea [math] un triángulo. Sea [math] el punto medio de [math]. Sean [math] el ortocentro y [math] el circuncentro de [math]. Entonces se verifica que: [math].

Esta igualdad se puede probar usando el concepto de Recta de Euler. Es muy útil para varios problemas. La demostración les queda como ejercicio.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

usuario250

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Re: Un lema muy útil: AH=2OM

Mensaje sin leer por usuario250 » Mié 05 Jun, 2013 7:29 pm

Ayuda: fijarse que papel cumplen O y M en el triangulo formado por los puntos medios de ABC.

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JPablo
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Re: Un lema muy útil: AH=2OM

Mensaje sin leer por JPablo » Sab 20 Jul, 2013 4:22 pm

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Supongamos que [math] es el triángulo anticomplementario de un triángulo [math]. Por lo que sabemos de triángulos anticomplementarios, el ortocentro de [math] será el circuncentro de [math], es decir, [math] es el ortocentro de [math].

Como los triángulos [math] y [math] son semejantes (por ser uno el anticomplementario de otro), y como las dimensiones de [math] son [math] respecto de las de [math] entonces

[math] puesto que ambos segmentos son homólogos: [math] es el segmento que une un vértice de [math] con su ortocentro, y [math] es el segmento que une el vértice homólogo del triángulo semejante [math] con su ortocentro.

Si [math] entonces [math]

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Fran5

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Re: Un lema muy útil: AH=2OM

Mensaje sin leer por Fran5 » Mar 31 Dic, 2013 1:18 pm

Una mas facil que creo que sirve.
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Por euler, tenemos que [math] [math] y [math] están alineados
Entonces, [math] y [math] son paralelas
Del mismo modo lo son [math] y [math] puesto que son perpendiculares a [math]
Y como sabemos que [math] pasa por [math] tenemos que [math] y [math] son paralelas

Luego, [math] y [math] son semejantes con [math] QED
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Gianni De Rico

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Re: Un lema muy útil: AH=2OM

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 19 Jul, 2018 4:42 pm

Más corta, y de yapa te demuestra le recta de Euler:
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Sea $G$ el bericentro de $\triangle ABC$. Consideramos la homotecia con centro $G$ y razón $-2$, esta homotecia manda el punto $M$ al punto $A$, luego, manda la mediatriz de $BC$ a la altura desde $A$. Análogamente manda las mediatrices de cada lado a las alturas desde el vértice opuesto, entonces manda $O$ a $H$. Luego $O,G,H$ están alineados, $GH=2GO$ y $AH=2OM$.
[math]

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